Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.4.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Этап 1.5.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Этап 1.5.3

Изменим порядок членов.

$7 \ln (x) + 7$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 \ln (x) + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2.2.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{7}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x \ln (x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 4.1.2

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Сократим общий множитель.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.2.2

Перепишем это выражение.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 4.1.4.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Этап 4.1.5.2

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Этап 4.1.5.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$7 \ln (x) = - 7$

Этап 5.3

Разделим каждый член $7 \ln (x) = - 7$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $7 \ln (x) = - 7$ на $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $- 7$ на $7$ .

$\ln (x) = - 1$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (x) = - 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Этап 5.6

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Этап 5.6.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{e}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{e}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

Этап 9

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$7 e$

Этап 10

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{e}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{e}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Объединим $7$ и $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Этап 11.2.2

Перепишем $\frac{1}{e}$ в виде $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Этап 11.2.3

Перепишем $\ln (1 e^{- 1})$ в виде $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Этап 11.2.4

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $- 1$ из степени.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Этап 11.2.5

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Этап 11.2.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Этап 11.2.7

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

Этап 11.2.8

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

Этап 11.2.9

Умножим $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Объединим $\frac{7}{e}$ и $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

Этап 11.2.9.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

Этап 11.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

Этап 11.2.11

Окончательный ответ: $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ — локальный минимум

Этап 13