Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$8 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$8 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$8 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 2$ на $8$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 \sin (x)$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x) \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 16 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 16 \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 16 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 \cos (x)$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 16 (- \sin (x))$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) - 16 (- \sin^{2} (x)) + 16 \sin (x)$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 16$ .

$f'' (x) = - 16 \cos^{2} (x) + 16 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x) = 0$

Этап 4

Разложим $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $16 \cos (x)$ из $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $16 \cos (x)$ из $- 16 \cos (x) \sin (x)$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 16 \cos (x) = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $16 \cos (x)$ из $- 16 \cos (x)$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $16 \cos (x)$ из $16 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 16 \cos (x) \cdot - 1$ .

$16 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Этап 6

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 6.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 6.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 6.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 6.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 6.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 6.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 6.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 7

Приравняем $- \sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- \sin (x) - 1$ к $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $- \sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- \sin (x) = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- \sin (x) = 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Разделим $1$ на $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 7.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 7.2.5

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 7.2.6

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 7.2.6.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 7.2.7

Решение уравнения $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $16 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.3

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 16 \cdot 1^{2} + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.6

Умножим $16$ на $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 10.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot 1$

Этап 10.1.8

Умножим $16$ на $1$ .

$0 + 16 + 16$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $0$ и $16$ .

$16 + 16$

Этап 10.2.2

Добавим $16$ и $16$ .

$32$

Этап 11

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0^{2} - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 8 \cdot 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.3

Умножим $8$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16 \cdot 1$

Этап 12.2.1.5

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 16$

Этап 12.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 16$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$y = - 16$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 16 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 16 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 16 \cdot 0^{2} + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 16 \cdot 0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.4

Умножим $- 16$ на $0$ .

$0 + 16 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.5

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$0 + 16 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 16 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 16 {(- 1)}^{2} + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$0 + 16 \cdot 1 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.9

Умножим $16$ на $1$ .

$0 + 16 + 16 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 14.1.10

$0 + 16 + 16 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 14.1.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$0 + 16 + 16 (- 1 \cdot 1)$

Этап 14.1.12

Умножим $16 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.12.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 + 16 + 16 \cdot - 1$

Этап 14.1.12.2

Умножим $16$ на $- 1$ .

$0 + 16 - 16$

Этап 14.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Добавим $0$ и $16$ .

$16 - 16$

Этап 14.2.2

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - \frac{π}{2})$ в первую производную $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 16 \cos (- 4) \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Найдем значение $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 16 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 16 \cos (- 4)$

Этап 15.2.2.1.2

Умножим $- 16$ на $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \sin (- 4) - 16 \cos (- 4)$

Этап 15.2.2.1.3

Найдем значение $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 10.45829793 \cdot 0.75680249 - 16 \cos (- 4)$

Этап 15.2.2.1.4

Умножим $10.45829793$ на $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cos (- 4)$

Этап 15.2.2.1.5

Найдем значение $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 - 16 \cdot - 0.65364362$

Этап 15.2.2.1.6

Умножим $- 16$ на $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.91486597 + 10.45829793$

Этап 15.2.2.2

Добавим $7.91486597$ и $10.45829793$ .

$f' (- 4) = 18.3731639$

Этап 15.2.2.3

Окончательный ответ: $18.3731639$ .

$18.3731639$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ в первую производную $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = - 16 \cos (0) \sin (0) - 16 \cos (0)$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = - 16 \cdot (1 \sin (0)) - 16 \cos (0)$

Этап 15.3.2.1.2

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f' (0) = - 16 \sin (0) - 16 \cos (0)$

Этап 15.3.2.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f' (0) = - 16 \cdot 0 - 16 \cos (0)$

Этап 15.3.2.1.4

Умножим $- 16$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cos (0)$

Этап 15.3.2.1.5

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 0 - 16 \cdot 1$

Этап 15.3.2.1.6

Умножим $- 16$ на $1$ .

$f' (0) = 0 - 16$

Этап 15.3.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$f' (0) = - 16$

Этап 15.3.2.3

Окончательный ответ: $- 16$ .

$- 16$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 16 \cos (3) \sin (3) - 16 \cos (3)$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 16 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 16 \cos (3)$

Этап 15.4.2.1.2

Умножим $- 16$ на $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 15.83987994 \sin (3) - 16 \cos (3)$

Этап 15.4.2.1.3

Найдем значение $\sin (3)$ .

$f' (3) = 15.83987994 \cdot 0.14112 - 16 \cos (3)$

Этап 15.4.2.1.4

Умножим $15.83987994$ на $0.14112$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cos (3)$

Этап 15.4.2.1.5

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = 2.23532398 - 16 \cdot - 0.98999249$

Этап 15.4.2.1.6

Умножим $- 16$ на $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 2.23532398 + 15.83987994$

Этап 15.4.2.2

Добавим $2.23532398$ и $15.83987994$ .

$f' (3) = 18.07520393$

Этап 15.4.2.3

Окончательный ответ: $18.07520393$ .

$18.07520393$

Этап 15.5

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $- 16 \cos (x) \sin (x) - 16 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = - 16 \cos (7) \sin (7) - 16 \cos (7)$

Этап 15.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.5.2.1.1

Найдем значение $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 16 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 16 \cos (7)$

Этап 15.5.2.1.2

Умножим $- 16$ на $0.75390225$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \sin (7) - 16 \cos (7)$

Этап 15.5.2.1.3

Найдем значение $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 12.06243606 \cdot 0.65698659 - 16 \cos (7)$

Этап 15.5.2.1.4

Умножим $- 12.06243606$ на $0.65698659$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cos (7)$

Этап 15.5.2.1.5

Найдем значение $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 16 \cdot 0.75390225$

Этап 15.5.2.1.6

Умножим $- 16$ на $0.75390225$ .

$f' (7) = - 7.92485884 - 12.06243606$

Этап 15.5.2.2

Вычтем $12.06243606$ из $- 7.92485884$ .

$f' (7) = - 19.98729491$

Этап 15.5.2.3

Окончательный ответ: $- 19.98729491$ .

$- 19.98729491$

Этап 15.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ — локальный максимум.

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 15.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 15.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 15.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 8 \cos^{2} (x) - 16 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 16