Математический анализ Примеры

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $64 x^{3} - 12 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{3}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$192 x^{2} - 12 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $192 x^{2} - 12$ и $0$ .

$192 x^{2} - 12$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $192 x^{2} - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $192$ является константой относительно $x$ , производная $192 x^{2}$ по $x$ равна $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $192$ .

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 384 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $384 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 384 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$192 x^{2} - 12 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $64 x^{3} - 12 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{3}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $64$ .

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $192 x^{2} - 12$ и $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $192 x^{2} - 12$ .

$192 x^{2} - 12$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $192 x^{2} - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$192 x^{2} - 12 = 0$

Этап 5.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$192 x^{2} = 12$

Этап 5.3

Разделим каждый член $192 x^{2} = 12$ на $192$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $192 x^{2} = 12$ на $192$ .

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{192}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $12$ и $192$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12$ .

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $12$ из $192$ .

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{1}{16}}$ в виде $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Этап 5.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Этап 5.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Этап 5.5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{1}{4}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{1}{4}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$384 (\frac{1}{4})$

Этап 9

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $4$ из $384$ .

$4 (96) \frac{1}{4}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

Этап 9.3

Перепишем это выражение.

$96$

Этап 10

$x = \frac{1}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{4}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

Этап 11.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

Этап 11.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $3$ из $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 2$ и $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$384 (- \frac{1}{4})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$384 (\frac{- 1}{4})$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $4$ из $384$ .

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

Этап 13.1.4

Перепишем это выражение.

$96 \cdot - 1$

Этап 13.2

Умножим $96$ на $- 1$ .

$- 96$

Этап 14

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{4}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.4

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{64}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{4}$ в числитель.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.6.2

Вынесем множитель $4$ из $- 12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

Этап 15.2.1.6.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

Этап 15.2.1.6.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

Этап 15.2.1.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

Этап 15.2.2.2

Добавим $2$ и $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $10$ .

$y = 10$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ .

$(\frac{1}{4}, 6)$ — локальный минимум

$(- \frac{1}{4}, 10)$ — локальный максимум

Этап 17