Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x + \cos (2 x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Этап 1.3.7

Добавим $2$ и $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Этап 1.3.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Этап 2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (2 x + 1)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Этап 2.2.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Этап 2.2.8

Добавим $2$ и $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Этап 2.2.9

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Этап 2.2.10

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Этап 2.3

Вычтем $4 \cos (2 x + 1)$ из $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Этап 4

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\sin (2 x + 1)$ на $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Этап 6

Множество значений синуса: $- 1 \leq y \leq 1$ . Поскольку $\frac{5}{2}$ не попадает в этот диапазон, решение отсутствует.

Нет решения

Этап 7

Найдем вторую производную в $x =$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Этап 8

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $2$ и $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Этап 8.2

Найдем значение $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Этап 8.3

Умножим $- 4$ на $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Этап 9

$x =$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x =$ — локальный максимум

Этап 10

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ — локальный максимум

Этап 11