Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{4} - 20 x^{3} + 10$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 20 x^{3} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [10]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $20 x^{3} - 60 x^{2}$ и $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $20 x^{3} - 60 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20 x^{3}$ по $x$ равна $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x^{2}$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 60 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{2} - 120 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 20 x^{3} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (10)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2} + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $20 x^{3} - 60 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$20 x^{3} - 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $20 x^{3} - 60 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $20 x^{3}$ .

$20 x^{2} (x) - 60 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $- 60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $20 x^{2}$ из $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (- 3)$ .

$20 x^{2} (x - 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $20 x^{2} (x - 3) = 0$ верно.

$x = 0, 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(0)}^{2} - 120 \cdot 0$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

Этап 9.1.2

Умножим $60$ на $0$ .

$0 - 120 \cdot 0$

Этап 9.1.3

Умножим $- 120$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $20 x^{3} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 20 {(- 2)}^{3} - 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 20 \cdot - 8 - 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $20$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 160 - 60 {(- 2)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 160 - 60 \cdot 4$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 60$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 160 - 240$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $240$ из $- 160$ .

$f' (- 2) = - 400$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 400$ .

$- 400$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 3)$ в первую производную $20 x^{3} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 20 {(2)}^{3} - 60 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 20 \cdot 8 - 60 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $20$ на $8$ .

$f' (2) = 160 - 60 {(2)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 160 - 60 \cdot 4$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 60$ на $4$ .

$f' (2) = 160 - 240$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $240$ из $160$ .

$f' (2) = - 80$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 80$ .

$- 80$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $20 x^{3} - 60 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 20 {(6)}^{3} - 60 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 20 \cdot 216 - 60 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $20$ на $216$ .

$f' (6) = 4320 - 60 {(6)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 4320 - 60 \cdot 36$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 60$ на $36$ .

$f' (6) = 4320 - 2160$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $2160$ из $4320$ .

$f' (6) = 2160$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $2160$ .

$2160$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 3$ , $x = 3$ — локальный минимум.

$x = 3$ — локальный минимум

Этап 11