Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (2 x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2.2

Производная $\cos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \sin (u_{1})$ .

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.7

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.7

Умножим $2$ на $- 12$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ и $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \sin (2 x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.6

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 \cos (2 x)$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2$ на $- 24$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член уравнения на $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 5

Разделим дроби.

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 6

Переведем $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ в $\tan (2 x)$ .

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 7

Разделим $- 10$ на $1$ .

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 8

Сократим общий множитель $\cos (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Сократим общий множитель.

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 8.2

Разделим $- 24$ на $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Этап 9

Разделим дроби.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Этап 10

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Этап 11

Разделим $0$ на $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

Этап 12

Умножим $0$ на $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

Этап 13

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$- 10 \tan (2 x) = 24$

Этап 14

Разделим каждый член $- 10 \tan (2 x) = 24$ на $- 10$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Разделим каждый член $- 10 \tan (2 x) = 24$ на $- 10$ .

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Этап 14.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Этап 14.2.1.2

Разделим $\tan (2 x)$ на $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

Этап 14.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $- 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $24$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

Этап 14.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 10$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Этап 14.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Этап 14.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

Этап 14.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

Этап 15

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

Этап 16

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Найдем значение $\arctan (- \frac{12}{5})$ .

$2 x = - 1.1760052$

Этап 17

Разделим каждый член $2 x = - 1.1760052$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разделим каждый член $2 x = - 1.1760052$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Этап 17.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Этап 17.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

Этап 17.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Разделим $- 1.1760052$ на $2$ .

$x = - 0.5880026$

Этап 18

Функция тангенса отрицательна во втором и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

Этап 19

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Добавим $2 π$ к $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

Этап 19.2

Результирующий угол $1.96558744$ является положительным и отличается от $- 1.1760052 - (3.14159265)$ на полный оборот.

$2 x = 1.96558744$

Этап 19.3

Разделим каждый член $2 x = 1.96558744$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Разделим каждый член $2 x = 1.96558744$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Этап 19.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Этап 19.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1.96558744}{2}$

Этап 19.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.3.1

Разделим $1.96558744$ на $2$ .

$x = 0.98279372$

Этап 20

Решение уравнения $2 x = - 1.1760052$ .

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

Этап 21

Найдем вторую производную в $x = - 0.5880026$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Этап 22

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $2$ на $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Этап 22.2

Умножим $2$ на $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

Этап 23

$x = - 0.5880026$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.5880026$ — локальный максимум

Этап 24

Найдем значение y, если $x = - 0.5880026$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Этап 24.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Умножим $2$ на $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Этап 24.2.1.2

Умножим $2$ на $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Этап 24.2.2

Окончательный ответ: $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ .

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Этап 25

Найдем вторую производную в $x = 0.98279372$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Этап 26

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 26.1

Умножим $2$ на $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Этап 26.2

Умножим $2$ на $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

Этап 27

$x = 0.98279372$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.98279372$ — локальный минимум

Этап 28

Найдем значение y, если $x = 0.98279372$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Этап 28.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 28.2.1.1

Умножим $2$ на $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Этап 28.2.1.2

Умножим $2$ на $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Этап 28.2.2

Окончательный ответ: $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ .

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Этап 29

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ .

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ — локальный максимум

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ — локальный минимум

Этап 30