Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 125 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 125 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125 x$ по $x$ равна $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 125$ на $1$ .

$15 x^{2} - 125$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{2} - 125$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 125)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 30 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $30 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 30 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{2} - 125 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 125 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 125$ является константой относительно $x$ , производная $- 125 x$ по $x$ равна $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} x$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 125$ на $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{2} - 125$ .

$15 x^{2} - 125$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{2} - 125 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{2} - 125 = 0$

Этап 5.2

Добавим $125$ к обеим частям уравнения.

$15 x^{2} = 125$

Этап 5.3

Разделим каждый член $15 x^{2} = 125$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $15 x^{2} = 125$ на $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{125}{15}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $125$ и $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $125$ .

$x^{2} = \frac{5 (25)}{15}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $15$ .

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{2} = \frac{25}{3}$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.3

Умножим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 5.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 5.5.4.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 5.5.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 5.5.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 5.5.4.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.5.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.5.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.5.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 5.5.4.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$3 (10) \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 10 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 9.1.3

Перепишем это выражение.

$10 (5 \sqrt{3})$

Этап 9.2

Умножим $5$ на $10$ .

$50 \sqrt{3}$

Этап 10

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.4

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.4.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.2.6

Умножим $125$ на $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $375$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $375 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $5 \frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Объединим $5$ и $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.5.2

Умножим $125$ на $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.6

Умножим $- 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.6.1

Объединим $- 125$ и $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Этап 11.2.1.6.2

Умножим $5$ на $- 125$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 625 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- \frac{625 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $3$ на $- 625$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 1875 \sqrt{3}}{9}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $1875 \sqrt{3}$ из $625 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1250 \sqrt{3}}{9}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ в числитель.

$30 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.2

Вынесем множитель $3$ из $30$ .

$3 (10) \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 10 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Этап 13.1.4

Перепишем это выражение.

$10 (- 5 \sqrt{3})$

Этап 13.2

Умножим $- 5$ на $10$ .

$- 50 \sqrt{3}$

Этап 14

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.1.3

Применим правило умножения к $5 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.2

Перепишем ${\sqrt{3}}^{3}$ в виде $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.4

Перепишем $27$ в виде $3^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.4.1

Вынесем множитель $9$ из $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.4.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.3.6

Умножим $125$ на $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.5

Сократим общий множитель $375$ и $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.1

Вынесем множитель $3$ из $375 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.6

Умножим $5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - 5 \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.6.2

Объединим $- 5$ и $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.6.3

Умножим $125$ на $- 5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{(625) \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.8

Умножим $- 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.8.1

Умножим $- 1$ на $- 125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + 125 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Этап 15.2.1.8.2

Объединим $125$ и $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Этап 15.2.1.8.3

Умножим $5$ на $125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Этап 15.2.2

Чтобы записать $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $9$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Умножим $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Этап 15.2.3.2

Умножим $3$ на $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Этап 15.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Умножим $3$ на $625$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 1875 \sqrt{3}}{9}$

Этап 15.2.5.2

Добавим $- 625 \sqrt{3}$ и $1875 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{3} - 125 x$ .

$(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ — локальный минимум

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{3}, \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ — локальный максимум

Этап 17