Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x \ln (x) - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.6.2

Перепишем это выражение.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.2.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $7$ из $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 \ln (x) - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $\frac{4}{x}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $4 x \ln (x) - 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \ln (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.2

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.6.2

Перепишем это выражение.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.2.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Этап 4.1.4.2.2

Вычтем $7$ из $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Этап 5.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$4 \ln (x) = 3$

Этап 5.3

Разделим каждый член $4 \ln (x) = 3$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $4 \ln (x) = 3$ на $4$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (x) = \frac{3}{4}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Этап 5.6

Перепишем уравнение в виде $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Этап 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{3}{4}$ из степени.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.1.5

Перенесем $3$ влево от $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $7 e^{\frac{3}{4}}$ из $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ — локальный минимум

Этап 12