Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{5} e^{- 6 x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 6 x}] + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 6 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 6 x$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.3.2

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 6 x}$ .

$x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - 6 (x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4} e^{- 6 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- 6 x})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.3.8

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 36 (x^{5} (e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.3.2

Умножим $5$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 (e^{- 6 x} (x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 6$ на $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 (x^{4} (e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Этап 2.4.3.4

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 (e^{- 6 x} (x^{3}))$

Этап 2.4.3.5

Вычтем $30 x^{4} e^{- 6 x}$ из $- 30 e^{- 6 x} x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1

Перенесем $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Этап 2.4.3.5.2

Вычтем $30 x^{4} e^{- 6 x}$ из $- 30 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 x^{3} e^{- 6 x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.2.2

$f' (x) = x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.3.3.2

Перенесем $- 6$ влево от $e^{- 6 x}$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{4} e^{- 6 x}$ из $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{4} e^{- 6 x}$ из $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{4} e^{- 6 x}$ из $5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{4} e^{- 6 x}$ из $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5)$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{4} = 0$

$e^{- 6 x} = 0$

$- 6 x + 5 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{4}$ к $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $e^{- 6 x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $e^{- 6 x}$ к $0$ .

$e^{- 6 x} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $e^{- 6 x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- 6 x}) = \ln (0)$

Этап 5.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.5.2.3

Нет решения для $e^{- 6 x} = 0$

Нет решения

Этап 5.6

Приравняем $- 6 x + 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $- 6 x + 5$ к $0$ .

$- 6 x + 5 = 0$

Этап 5.6.2

Решим $- 6 x + 5 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 6 x = - 5$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $- 6 x = - 5$ на $- 6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $- 6 x = - 5$ на $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Этап 5.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 6}$

Этап 5.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{5}{6}$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(0)}^{5} e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$36 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.2

Умножим $36$ на $0$ .

$0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 e^{0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 60 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.7

Умножим $- 60$ на $0$ .

$0 + 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.8

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.10

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 20 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.12

Умножим $20$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Этап 9.1.13

Умножим $- 6$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 9.1.14

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 9.1.15

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{5}{6}) \cup (\frac{5}{6}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot (- 32 e^{- 6 \cdot - 2}) + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 6$ на $- 32$ .

$f' (- 2) = 192 e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 \cdot (16 e^{- 6 \cdot - 2})$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{- 6 \cdot - 2}$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{12}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $192 e^{12}$ и $80 e^{12}$ .

$f' (- 2) = 272 e^{12}$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $272 e^{12}$ .

$272 e^{12}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $0.42$ , из интервала $(0, \frac{5}{6})$ в первую производную $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.42$ .

$f' (0.42) = - 6 {(0.42)}^{5} e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $0.42$ в степень $5$ .

$f' (0.42) = - 6 \cdot (0.01306912 e^{- 6 \cdot 0.42}) + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 6$ на $0.01306912$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $- 6$ на $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 2.52} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 \frac{1}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.5

Объединим $- 0.07841473$ и $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = \frac{- 0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.7

Заменим $e$ приближением.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{{2.71828182}^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.8

Возведем $2.71828182$ в степень $2.52$ .

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{12.42859666} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.9

Разделим $0.07841473$ на $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 1 \cdot 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.10

Умножим $- 1$ на $0.00630921$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.11

Возведем $0.42$ в степень $4$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 \cdot (0.03111696 e^{- 6 \cdot 0.42})$

Этап 10.3.2.1.12

Умножим $5$ на $0.03111696$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 6 \cdot 0.42}$

Этап 10.3.2.1.13

Умножим $- 6$ на $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 2.52}$

Этап 10.3.2.1.14

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 (\frac{1}{e^{2.52}})$

Этап 10.3.2.1.15

Объединим $0.1555848$ и $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{e^{2.52}}$

Этап 10.3.2.1.16

Заменим $e$ приближением.

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{{2.71828182}^{2.52}}$

Этап 10.3.2.1.17

Возведем $2.71828182$ в степень $2.52$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{12.42859666}$

Этап 10.3.2.1.18

Разделим $0.1555848$ на $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.01251829$

Этап 10.3.2.2

Добавим $- 0.00630921$ и $0.01251829$ .

$f' (0.42) = 0.00620907$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $0.00620907$ .

$0.00620907$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{5}{6}, \infty)$ в первую производную $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = - 6 {(3)}^{5} e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $3$ в степень $5$ .

$f' (3) = - 6 \cdot (243 e^{- 6 \cdot 3}) + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 6$ на $243$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 18} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 1458 \frac{1}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.5

Объединим $- 1458$ и $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = \frac{- 1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.7

Возведем $3$ в степень $4$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 \cdot (81 e^{- 6 \cdot 3})$

Этап 10.4.2.1.8

Умножим $5$ на $81$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 6 \cdot 3}$

Этап 10.4.2.1.9

Умножим $- 6$ на $3$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 18}$

Этап 10.4.2.1.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 (\frac{1}{e^{18}})$

Этап 10.4.2.1.11

Объединим $405$ и $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + \frac{405}{e^{18}}$

Этап 10.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (3) = \frac{- 1458 + 405}{e^{18}}$

Этап 10.4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.1

Добавим $- 1458$ и $405$ .

$f' (3) = \frac{- 1053}{e^{18}}$

Этап 10.4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (3) = - \frac{1053}{e^{18}}$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{1053}{e^{18}}$ .

$- \frac{1053}{e^{18}}$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{5}{6}$ , $x = \frac{5}{6}$ — локальный максимум.

$x = \frac{5}{6}$ — локальный максимум

Этап 11