Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(x - 24)}^{2}$ в виде $(x - 24) (x - 24)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Этап 1.2

Развернем $(x - 24) (x - 24)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $- 24$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 1.3.1.3

Умножим $- 24$ на $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Этап 1.3.2

Вычтем $24 x$ из $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 48 x + 576$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.3

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.5

Умножим $- 48$ на $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.6

Поскольку $576$ является константой относительно $x$ , производная $576$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.7

Добавим $2 x - 48$ и $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Этап 1.5.9

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Этап 1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Этап 1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.3

Перенесем $- 48$ влево от $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.4.3

Добавим $3$ и $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.5

Умножим $- 48$ на $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.6

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.6.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 1.6.4.7

Умножим $4$ на $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 1.6.4.8

Добавим $2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 1.6.4.9

Вычтем $192 x^{4}$ из $- 48 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 240 x^{4}] + \frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{5}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $5$ на $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 240 x^{4}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 240 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 240$ является константой относительно $x$ , производная $- 240 x^{4}$ по $x$ равна $- 240 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 240 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.3.3

Умножим $4$ на $- 240$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + \frac{d}{d x} (2304 x^{3})$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2304 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2304$ является константой относительно $x$ , производная $2304 x^{3}$ по $x$ равна $2304 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 2304 (3 x^{2})$

Этап 2.4.3

Умножим $3$ на $2304$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 960 x^{3} + 6912 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем ${(x - 24)}^{2}$ в виде $(x - 24) (x - 24)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 24) (x - 24))]$

Этап 4.1.2

Развернем $(x - 24) (x - 24)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 24) - 24 (x - 24))]$

Этап 4.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 (x - 24))]$

Этап 4.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 4.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 24 - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $- 24$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 \cdot x - 24 x - 24 \cdot - 24)]$

Этап 4.1.3.1.3

Умножим $- 24$ на $- 24$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x - 24 x + 576)]$

Этап 4.1.3.2

Вычтем $24 x$ из $- 24 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 48 x + 576)]$

Этап 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 48 x + 576] + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 48 x + 576$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.3

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.5

Умножим $- 48$ на $1$ .

$x^{4} (2 x - 48 + \frac{d}{d x} [576]) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.6

Поскольку $576$ является константой относительно $x$ , производная $576$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{4} (2 x - 48 + 0) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.7

Добавим $2 x - 48$ и $0$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 4.1.5.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 48) + (x^{2} - 48 x + 576) (4 x^{3})$

Этап 4.1.5.9

Перенесем $4$ влево от $x^{2} - 48 x + 576$ .

$x^{4} (2 x - 48) + 4 \cdot (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 (x^{2} - 48 x + 576) x^{3}$

Этап 4.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + (4 x^{2} + 4 (- 48 x) + 4 \cdot 576) x^{3}$

Этап 4.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1.1

Перенесем $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 48 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.3

Перенесем $- 48$ влево от $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 48 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.4

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.4.3

Добавим $3$ и $2$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 48 x) x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.5

Умножим $- 48$ на $4$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.6

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.6.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{3 + 1} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.6.3

Добавим $3$ и $1$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 4 \cdot 576 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.7

Умножим $4$ на $576$ .

$2 x^{5} - 48 x^{4} + 4 x^{5} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.8

Добавим $2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 48 x^{4} - 192 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 4.1.6.4.9

Вычтем $192 x^{4}$ из $- 48 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 240 x^{4} + 2304 x^{3} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $- 240 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 2304 x^{3} = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $2304 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 40 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6 x^{3}$ из $6 x^{3} (x^{2} - 40 x) + 6 x^{3} (384)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 40 x + 384) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим $x^{2} - 40 x + 384$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $384$ , а сумма — $- 40$ .

$- 24, - 16$

Этап 5.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$6 x^{3} ((x - 24) (x - 16)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 24 = 0$

$x - 16 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 24$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 24$ к $0$ .

$x - 24 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$x = 24$

Этап 5.6

Приравняем $x - 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 16$ к $0$ .

$x - 16 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$x = 16$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 x^{3} (x - 24) (x - 16) = 0$ верно.

$x = 0, 24, 16$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 24, 16$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 {(0)}^{4} - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$30 \cdot 0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.2

Умножим $30$ на $0$ .

$0 - 960 {(0)}^{3} + 6912 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 960 \cdot 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.4

Умножим $- 960$ на $0$ .

$0 + 0 + 6912 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 6912 \cdot 0$

Этап 9.1.6

Умножим $6912$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 16) \cup (16, 24) \cup (24, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $6$ на $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 {(- 2)}^{4} + 2304 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 240$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 + 2304 \cdot - 8$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $2304$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 3840 - 18432$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Вычтем $3840$ из $- 192$ .

$f' (- 2) = - 4032 - 18432$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $18432$ из $- 4032$ .

$f' (- 2) = - 22464$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 22464$ .

$- 22464$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 16)$ в первую производную $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 6 {(2)}^{5} - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $5$ .

$f' (2) = 6 \cdot 32 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $6$ на $32$ .

$f' (2) = 192 - 240 {(2)}^{4} + 2304 {(2)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = 192 - 240 \cdot 16 + 2304 {(2)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 240$ на $16$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 {(2)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.5

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 2304 \cdot 8$

Этап 10.3.2.1.6

Умножим $2304$ на $8$ .

$f' (2) = 192 - 3840 + 18432$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вычтем $3840$ из $192$ .

$f' (2) = - 3648 + 18432$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $- 3648$ и $18432$ .

$f' (2) = 14784$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $14784$ .

$14784$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $20$ , из интервала $(16, 24)$ в первую производную $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $20$ .

$f' (20) = 6 {(20)}^{5} - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $20$ в степень $5$ .

$f' (20) = 6 \cdot 3200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $6$ на $3200000$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 {(20)}^{4} + 2304 {(20)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $20$ в степень $4$ .

$f' (20) = 19200000 - 240 \cdot 160000 + 2304 {(20)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 240$ на $160000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 {(20)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.5

Возведем $20$ в степень $3$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 2304 \cdot 8000$

Этап 10.4.2.1.6

Умножим $2304$ на $8000$ .

$f' (20) = 19200000 - 38400000 + 18432000$

Этап 10.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Вычтем $38400000$ из $19200000$ .

$f' (20) = - 19200000 + 18432000$

Этап 10.4.2.2.2

Добавим $- 19200000$ и $18432000$ .

$f' (20) = - 768000$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- 768000$ .

$- 768000$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $26$ , из интервала $(24, \infty)$ в первую производную $6 x^{5} - 240 x^{4} + 2304 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $26$ .

$f' (26) = 6 {(26)}^{5} - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $26$ в степень $5$ .

$f' (26) = 6 \cdot 11881376 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $6$ на $11881376$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 {(26)}^{4} + 2304 {(26)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $26$ в степень $4$ .

$f' (26) = 71288256 - 240 \cdot 456976 + 2304 {(26)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $- 240$ на $456976$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 {(26)}^{3}$

Этап 10.5.2.1.5

Возведем $26$ в степень $3$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 2304 \cdot 17576$

Этап 10.5.2.1.6

Умножим $2304$ на $17576$ .

$f' (26) = 71288256 - 109674240 + 40495104$

Этап 10.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вычтем $109674240$ из $71288256$ .

$f' (26) = - 38385984 + 40495104$

Этап 10.5.2.2.2

Добавим $- 38385984$ и $40495104$ .

$f' (26) = 2109120$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $2109120$ .

$2109120$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 16$ , $x = 16$ — локальный максимум.

$x = 16$ — локальный максимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 24$ , $x = 24$ — локальный минимум.

$x = 24$ — локальный минимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} {(x - 24)}^{2}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 16$ — локальный максимум

$x = 24$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 16$ — локальный максимум

$x = 24$ — локальный минимум

Этап 11