Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} e^{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3.3

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Этап 2.4.2.2

Добавим $e^{x} (4 x^{3})$ и $4 x^{3} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $4 x^{3} e^{x}$ и $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{3} e^{x}$ из $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{3} e^{x}$ из $x^{4} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{3} e^{x}$ из $4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{3} e^{x}$ из $x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4)$ .

$x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.6

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, - 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(0)}^{4} e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 8 \cdot 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.5

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 9.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{0}$

Этап 9.1.9

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 9.1.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 9.1.11

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 6$ , из интервала $(- \infty, - 4)$ в первую производную $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 6$ .

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 6$ в степень $4$ .

$f' (- 6) = 1296 e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Этап 10.2.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}}) + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Этап 10.2.2.1.3

Объединим $1296$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Этап 10.2.2.1.4

Возведем $- 6$ в степень $3$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (- 216 e^{- 6})$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $4$ на $- 216$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 e^{- 6}$

Этап 10.2.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 \frac{1}{e^{6}}$

Этап 10.2.2.1.7

Объединим $- 864$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + \frac{- 864}{e^{6}}$

Этап 10.2.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - \frac{864}{e^{6}}$

Этап 10.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 6) = \frac{1296 - 864}{e^{6}}$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $864$ из $1296$ .

$f' (- 6) = \frac{432}{e^{6}}$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{432}{e^{6}}$ .

$\frac{432}{e^{6}}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- 4, 0)$ в первую производную $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 16 e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Этап 10.3.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Этап 10.3.2.1.3

Объединим $16$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Этап 10.3.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (- 8 e^{- 2})$

Этап 10.3.2.1.5

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 e^{- 2}$

Этап 10.3.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 \frac{1}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.1.7

Объединим $- 32$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + \frac{- 32}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - \frac{32}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 2) = \frac{16 - 32}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.1

Вычтем $32$ из $16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 2) = - \frac{16}{e^{2}}$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{16}{e^{2}}$ .

$- \frac{16}{e^{2}}$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = {(2)}^{4} e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 \cdot (8 e^{2})$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 32 e^{2}$

Этап 10.4.2.2

Добавим $16 e^{2}$ и $32 e^{2}$ .

$f' (2) = 48 e^{2}$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $48 e^{2}$ .

$48 e^{2}$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 4$ , $x = - 4$ — локальный максимум.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} e^{x}$ .

$x = - 4$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = - 4$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11