Математический анализ Примеры

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.1.2

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 1.4.2

Поскольку $36 y$ является константой относительно $x$ , производная $36 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $- 2 x + y$ и $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Этап 1.5.3

Добавим $- 2 x + y$ и $0$ .

$- 2 x + y$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x + y = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $y$ на $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Этап 4.1.4.2

Поскольку $36 y$ является константой относительно $x$ , производная $36 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $- 2 x + y$ и $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Этап 4.1.5.3

Добавим $- 2 x + y$ и $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + y = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Этап 5.2

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - y$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 2 x = - y$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - y$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{y}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{y}{2}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{y}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2$

Этап 9

$x = \frac{y}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{y}{2}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.3

Умножим $(\frac{y}{2}) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.3.1

Объединим $\frac{y}{2}$ и $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.3.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.3.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.2

Чтобы записать $\frac{y^{2}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $\frac{y^{2}}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.5

Добавим $- y^{2}$ и $y^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Изменим порядок $y^{2}$ и $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.5.2

Добавим $- y^{2}$ и $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Этап 10.2.6

Чтобы записать $- y^{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.7

Объединим $- y^{2}$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.9

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.9.1

Запишем $18$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.9.2

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.9.3

Умножим $\frac{18}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Этап 10.2.9.4

Запишем $36 y$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Этап 10.2.9.5

Умножим $\frac{36 y}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Этап 10.2.9.6

Умножим $\frac{36 y}{1}$ на $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Этап 10.2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.10.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Этап 10.2.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.10.2.1

Умножим $18$ на $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Этап 10.2.10.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Этап 10.2.10.2.3

Умножим $4$ на $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Этап 10.2.10.3

Вычтем $4 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Этап 10.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.11.1

Вынесем множитель $3$ из $72 - 3 y^{2} + 144 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.11.1.1

Вынесем множитель $3$ из $72$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Этап 10.2.11.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 3 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Этап 10.2.11.1.3

Вынесем множитель $3$ из $144 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Этап 10.2.11.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 (24) + 3 (- y^{2})$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Этап 10.2.11.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Этап 10.2.11.2

Изменим порядок членов.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Этап 10.2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Этап 10.2.12.2

Вынесем множитель $- 1$ из $48 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Этап 10.2.12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2}) - (- 48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Этап 10.2.12.4

Перепишем $24$ в виде $- 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Этап 10.2.12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Этап 10.2.12.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.12.6.1

Перепишем $- (y^{2} - 48 y - 24)$ в виде $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Этап 10.2.12.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Этап 10.2.13

Окончательный ответ: $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ — локальный максимум

Этап 12