Математический анализ Примеры

$f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$0 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.2.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.3.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Этап 1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4.3.3

Вычтем $\frac{5}{x^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + 8 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4.3.4

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{5}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 5 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 5 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f'' (x) = - 5 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.2.10

Умножим $- 2$ на $- 5$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{8}{x^{3}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{8}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8}{x^{3}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 2.3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 2.3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} + 8 (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 3$ на $8$ .

$f'' (x) = 10 x^{- 3} - 24 x^{- 4}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 x^{- 4}$

Этап 2.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{1}{x^{3}}) - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Объединим $10$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - 24 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 2.4.3.2

Объединим $- 24$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} + \frac{- 24}{x^{4}}$

Этап 2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{10}{x^{3}} - \frac{24}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{5}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 5 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 5 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.2.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{x^{2}})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{2}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Этап 4.1.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 4.1.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.1.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 4.1.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 4.1.3.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 4.1.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 4.1.3.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Этап 4.1.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 4.1.3.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} - 4 (- 2 x^{- 3})$

Этап 4.1.3.10

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$f' (x) = 0 - 5 x^{- 2} + 8 x^{- 3}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 x^{- 3}$

Этап 4.1.4.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 5 \frac{1}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.4.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 0 - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.4.3.3

Вычтем $\frac{5}{x^{2}}$ из $0$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + 8 (\frac{1}{x^{3}})$

Этап 4.1.4.3.4

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Этап 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.5

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 5.2.6

Множители $x^{2}$ — $x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $2$ раз.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ встречается $2$ раз.

Этап 5.2.7

Множители $x^{3}$ — $x \cdot x \cdot x$ , то есть $x$ , умноженный сам на себя $3$ раз.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ встречается $3$ раз.

Этап 5.2.8

НОК $x^{2}, x^{3}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x \cdot x \cdot x$

Этап 5.2.9

Упростим $x \cdot x \cdot x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.1

Умножим $x$ на $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Этап 5.2.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.9.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Этап 5.2.9.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{2 + 1}$

Этап 5.2.9.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$x^{3}$

Этап 5.3

Каждый член в $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $- \frac{5}{x^{2}} + \frac{8}{x^{3}} = 0$ на $x^{3}$ .

$- \frac{5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5}{x^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 5}{x^{2}} x^{3} + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2.1.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$- 5 x + \frac{8}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$- 5 x + 8 = 0 x^{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0$ на $x^{3}$ .

$- 5 x + 8 = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$- 5 x = - 8$

Этап 5.4.2

Разделим каждый член $- 5 x = - 8$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Разделим каждый член $- 5 x = - 8$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 5.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 5.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 8}{- 5}$

Этап 5.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{8}{5}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{5}{x^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.3

Зададим знаменатель в $\frac{8}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.4.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{8}{5}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{8}{5}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{10}{{(\frac{8}{5})}^{3}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{5}$ .

$\frac{10}{\frac{8^{3}}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.1.2

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{5^{3}}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{10}{\frac{512}{125}} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$10 (\frac{125}{512}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 (5) \frac{125}{512} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $512$ .

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 5 \frac{125}{2 \cdot 256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.3.4

Перепишем это выражение.

$5 (\frac{125}{256}) - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.4

Объединим $5$ и $\frac{125}{256}$ .

$\frac{5 \cdot 125}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.5

Умножим $5$ на $125$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{{(\frac{8}{5})}^{4}}$

Этап 9.1.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.6.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{5}$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{8^{4}}{5^{4}}}$

Этап 9.1.6.2

Возведем $8$ в степень $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{5^{4}}}$

Этап 9.1.6.3

Возведем $5$ в степень $4$ .

$\frac{625}{256} - \frac{24}{\frac{4096}{625}}$

Этап 9.1.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{625}{256} - (24 (\frac{625}{4096}))$

Этап 9.1.8

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.8.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$\frac{625}{256} - (8 (3) \frac{625}{4096})$

Этап 9.1.8.2

Вынесем множитель $8$ из $4096$ .

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Этап 9.1.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{625}{256} - (8 \cdot 3 \frac{625}{8 \cdot 512})$

Этап 9.1.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{625}{256} - (3 (\frac{625}{512}))$

Этап 9.1.9

Объединим $3$ и $\frac{625}{512}$ .

$\frac{625}{256} - \frac{3 \cdot 625}{512}$

Этап 9.1.10

Умножим $3$ на $625$ .

$\frac{625}{256} - \frac{1875}{512}$

Этап 9.2

Чтобы записать $\frac{625}{256}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625}{256} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1875}{512}$

Этап 9.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $512$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $\frac{625}{256}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{625 \cdot 2}{256 \cdot 2} - \frac{1875}{512}$

Этап 9.3.2

Умножим $256$ на $2$ .

$\frac{625 \cdot 2}{512} - \frac{1875}{512}$

Этап 9.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{625 \cdot 2 - 1875}{512}$

Этап 9.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $625$ на $2$ .

$\frac{1250 - 1875}{512}$

Этап 9.5.2

Вычтем $1875$ из $1250$ .

$\frac{- 625}{512}$

Этап 9.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{625}{512}$

Этап 10

$x = \frac{8}{5}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{8}{5}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{8}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5}{\frac{8}{5}} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + 5 (\frac{5}{8}) - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $5 (\frac{5}{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Объединим $5$ и $\frac{5}{8}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{5 \cdot 5}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.2

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{{(\frac{8}{5})}^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Применим правило умножения к $\frac{8}{5}$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{8^{2}}{5^{2}}}$

Этап 11.2.1.3.2

Возведем $8$ в степень $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{5^{2}}}$

Этап 11.2.1.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{4}{\frac{64}{25}}$

Этап 11.2.1.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{64}))$

Этап 11.2.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 (16)}))$

Этап 11.2.1.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - (4 (\frac{25}{4 \cdot 16}))$

Этап 11.2.1.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{8}{5}) = 1 + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{1}{1}$ на $\frac{16}{16}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{25}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25}{8} \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{25}{8}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{8 \cdot 2} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.6

Изменим порядок множителей в $8 \cdot 2$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 8} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.2.7

Умножим $2$ на $8$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16}{16} + \frac{25 \cdot 2}{16} - \frac{25}{16}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 25 \cdot 2 - 25}{16}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $25$ на $2$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{16 + 50 - 25}{16}$

Этап 11.2.4.2

Добавим $16$ и $50$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{66 - 25}{16}$

Этап 11.2.4.3

Вычтем $25$ из $66$ .

$f (\frac{8}{5}) = \frac{41}{16}$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $\frac{41}{16}$ .

$y = \frac{41}{16}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 1 + \frac{5}{x} - \frac{4}{x^{2}}$ .

$(\frac{8}{5}, \frac{41}{16})$ — локальный максимум

Этап 13