Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{2}}{x - 2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x - 2$ .

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Перенесем $2$ влево от $x - 2$ .

$\frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

По правилу суммы производная $x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 2 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 4 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$x (x - 4) = 0$

Этап 2.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 2.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 2.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $x (x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 4

Вычислим $\frac{x^{2}}{x - 2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{0}{0 - 2}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{0}{- 2}$

Этап 4.1.2.3

Разделим $0$ на $- 2$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$\frac{{(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{16}{4 - 2}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $2$ из $4$ .

$\frac{16}{2}$

Этап 4.2.2.3

Разделим $16$ на $2$ .

$8$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $2$ вместо $x$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{{(2)}^{2}}{0}$

Этап 4.3.2.2

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (4, 8)$

Этап 5