Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{10} e^{x} - 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{10} e^{x} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{10}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{10} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{10}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 1.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Добавим $x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ и $0$ .

$x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ .

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [10 x^{9} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{10} e^{x}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = x^{10} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} (10 x^{9} e^{x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{9} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{9} e^{x}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{9} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 \frac{d}{d x} (x^{9} e^{x})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{9}))$

Этап 2.3.3

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{9}))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x} + e^{x} (9 x^{8}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 (x^{9} e^{x}) + 10 (e^{x} (9 x^{8}))$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Умножим $9$ на $10$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 10 x^{9} e^{x} + 90 (e^{x} (x^{8}))$

Этап 2.4.2.2

Добавим $e^{x} (10 x^{9})$ и $10 x^{9} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} + 90 e^{x} x^{8}$

Этап 2.4.2.2.2

Добавим $10 x^{9} e^{x}$ и $10 x^{9} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 20 x^{9} e^{x} + 90 e^{x} x^{8}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{10} + 20 e^{x} x^{9} + 90 e^{x} x^{8}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{10} + 20 e^{x} x^{9} + 90 e^{x} x^{8}$ .

$f'' (x) = x^{10} e^{x} + 20 x^{9} e^{x} + 90 x^{8} e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $x^{10} e^{x} - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{10} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{10} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = x^{10} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 4.1.2.2

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{10}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Этап 4.1.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9}) + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Добавим $x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$ и $0$ .

$f' (x) = x^{10} e^{x} + e^{x} (10 x^{9})$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{10} + 10 e^{x} x^{9}$ .

$f' (x) = x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ .

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $x^{9} e^{x}$ из $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x^{9} e^{x}$ из $x^{10} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} (x) + 10 x^{9} e^{x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x^{9} e^{x}$ из $10 x^{9} e^{x}$ .

$x^{9} e^{x} (x) + x^{9} e^{x} (10) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $x^{9} e^{x}$ из $x^{9} e^{x} (x) + x^{9} e^{x} (10)$ .

$x^{9} e^{x} (x + 10) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{9} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{9}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{9}$ к $0$ .

$x^{9} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{9} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[9]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[9]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.6

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 5.6.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{9} e^{x} (x + 10) = 0$ верно.

$x = 0, - 10$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 10$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(0)}^{10} e^{0} + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0} + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 20 {(0)}^{9} e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 20 \cdot 0 e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.5

Умножим $20$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 90 {(0)}^{8} e^{0}$

Этап 9.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 90 \cdot 0 e^{0}$

Этап 9.1.9

Умножим $90$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 9.1.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 9.1.11

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 12$ , из интервала $(- \infty, - 10)$ в первую производную $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 12$ .

$f' (- 12) = {(- 12)}^{10} e^{- 12} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 12$ в степень $10$ .

$f' (- 12) = 61917364224 e^{- 12} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

Этап 10.2.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 12) = 61917364224 (\frac{1}{e^{12}}) + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

Этап 10.2.2.1.3

Объединим $61917364224$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + 10 {(- 12)}^{9} e^{- 12}$

Этап 10.2.2.1.4

Возведем $- 12$ в степень $9$ .

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + 10 \cdot (- 5159780352 e^{- 12})$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $10$ на $- 5159780352$ .

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - 51597803520 e^{- 12}$

Этап 10.2.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - 51597803520 \frac{1}{e^{12}}$

Этап 10.2.2.1.7

Объединим $- 51597803520$ и $\frac{1}{e^{12}}$ .

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} + \frac{- 51597803520}{e^{12}}$

Этап 10.2.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 12) = \frac{61917364224}{e^{12}} - \frac{51597803520}{e^{12}}$

Этап 10.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 12) = \frac{61917364224 - 51597803520}{e^{12}}$

Этап 10.2.2.2.2

Вычтем $51597803520$ из $61917364224$ .

$f' (- 12) = \frac{10319560704}{e^{12}}$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{10319560704}{e^{12}}$ .

$\frac{10319560704}{e^{12}}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 5$ , из интервала $(- 10, 0)$ в первую производную $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f' (- 5) = {(- 5)}^{10} e^{- 5} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 5$ в степень $10$ .

$f' (- 5) = 9765625 e^{- 5} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

Этап 10.3.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 5) = 9765625 (\frac{1}{e^{5}}) + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

Этап 10.3.2.1.3

Объединим $9765625$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + 10 {(- 5)}^{9} e^{- 5}$

Этап 10.3.2.1.4

Возведем $- 5$ в степень $9$ .

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + 10 \cdot (- 1953125 e^{- 5})$

Этап 10.3.2.1.5

Умножим $10$ на $- 1953125$ .

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - 19531250 e^{- 5}$

Этап 10.3.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - 19531250 \frac{1}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.1.7

Объединим $- 19531250$ и $\frac{1}{e^{5}}$ .

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} + \frac{- 19531250}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 5) = \frac{9765625}{e^{5}} - \frac{19531250}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 5) = \frac{9765625 - 19531250}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.2.1

Вычтем $19531250$ из $9765625$ .

$f' (- 5) = \frac{- 9765625}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 5) = - \frac{9765625}{e^{5}}$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{9765625}{e^{5}}$ .

$- \frac{9765625}{e^{5}}$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $x^{10} e^{x} + 10 x^{9} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = {(2)}^{10} e^{2} + 10 {(2)}^{9} e^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $10$ .

$f' (2) = 1024 e^{2} + 10 {(2)}^{9} e^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $9$ .

$f' (2) = 1024 e^{2} + 10 \cdot (512 e^{2})$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $10$ на $512$ .

$f' (2) = 1024 e^{2} + 5120 e^{2}$

Этап 10.4.2.2

Добавим $1024 e^{2}$ и $5120 e^{2}$ .

$f' (2) = 6144 e^{2}$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $6144 e^{2}$ .

$6144 e^{2}$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 10$ , $x = - 10$ — локальный максимум.

$x = - 10$ — локальный максимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{10} e^{x} - 3$ .

$x = - 10$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = - 10$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11