Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.3.3

Умножим $36$ на $1$ .

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 24 x + 36 + 0$

Этап 1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $2 x$ и $24 x$ .

$26 x + 36 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $26 x + 36$ и $0$ .

$26 x + 36$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $26 x + 36$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [26 x] + \frac{d}{d x} [36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (26 x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [26 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $26$ является константой относительно $x$ , производная $26 x$ по $x$ равна $26 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 26 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 26 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 2.2.3

Умножим $26$ на $1$ .

$f'' (x) = 26 + \frac{d}{d x} (36)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 26 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $26$ и $0$ .

$f'' (x) = 26$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$26 x + 36 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$2 x + 24 x + \frac{d}{d x} [36 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $36$ является константой относительно $x$ , производная $36 x$ по $x$ равна $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 24 x + 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x + 24 x + 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $36$ на $1$ .

$2 x + 24 x + 36 + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 4.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 24 x + 36 + 0$

Этап 4.1.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $2 x$ и $24 x$ .

$26 x + 36 + 0$

Этап 4.1.5.2

Добавим $26 x + 36$ и $0$ .

$f' (x) = 26 x + 36$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $26 x + 36$ .

$26 x + 36$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $26 x + 36 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$26 x + 36 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $36$ из обеих частей уравнения.

$26 x = - 36$

Этап 5.3

Разделим каждый член $26 x = - 36$ на $26$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $26 x = - 36$ на $26$ .

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{26 x}{26} = \frac{- 36}{26}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 36}{26}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 36$ и $26$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$x = \frac{2 (- 18)}{26}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $26$ .

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 13}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{- 18}{13}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{18}{13}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{18}{13}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{18}{13}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$26$

Этап 9

$x = - \frac{18}{13}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{18}{13}$ — локальный минимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = - \frac{18}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = {(- \frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = {(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = 1 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{18^{2}}{13^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{18^{2}}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.4

Возведем $18$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{13^{2}} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.5

Возведем $13$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 {(- \frac{18}{13})}^{2} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.6

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.6.1

Применим правило умножения к $- \frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{18}{13})}^{2}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.6.2

Применим правило умножения к $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (1 (\frac{18^{2}}{13^{2}})) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.8

Умножим $\frac{18^{2}}{13^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{18^{2}}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.9

Возведем $18$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{13^{2}}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.10

Возведем $13$ в степень $2$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + 12 (\frac{324}{169}) + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.11

Умножим $12 (\frac{324}{169})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.11.1

Объединим $12$ и $\frac{324}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{12 \cdot 324}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.11.2

Умножим $12$ на $324$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + 36 (- \frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.12

Умножим $36 (- \frac{18}{13})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - 36 (\frac{18}{13}) + 3$

Этап 10.2.1.12.2

Объединим $- 36$ и $\frac{18}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 36 \cdot 18}{13} + 3$

Этап 10.2.1.12.3

Умножим $- 36$ на $18$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} + \frac{- 648}{13} + 3$

Этап 10.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{324}{169} + \frac{3888}{169} - \frac{648}{13} + 3$

Этап 10.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{324 + 3888}{169} + \frac{- 648}{13}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $324$ и $3888$ .

$f (- \frac{18}{13}) = 3 + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Этап 10.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Запишем $3$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Этап 10.2.3.2

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{169}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3}{1} \cdot \frac{169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Этап 10.2.3.3

Умножим $\frac{3}{1}$ на $\frac{169}{169}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13}$

Этап 10.2.3.4

Умножим $\frac{- 648}{13}$ на $\frac{13}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648}{13} \cdot \frac{13}{13}$

Этап 10.2.3.5

Умножим $\frac{- 648}{13}$ на $\frac{13}{13}$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{13 \cdot 13}$

Этап 10.2.3.6

Умножим $13$ на $13$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169}{169} + \frac{4212}{169} + \frac{- 648 \cdot 13}{169}$

Этап 10.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{3 \cdot 169 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

Этап 10.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.5.1

Умножим $3$ на $169$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 648 \cdot 13}{169}$

Этап 10.2.5.2

Умножим $- 648$ на $13$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{507 + 4212 - 8424}{169}$

Этап 10.2.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.1

Добавим $507$ и $4212$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{4719 - 8424}{169}$

Этап 10.2.6.2

Вычтем $8424$ из $4719$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 3705}{169}$

Этап 10.2.6.3

Сократим общий множитель $- 3705$ и $169$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.3.1

Вынесем множитель $13$ из $- 3705$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 (- 285)}{169}$

Этап 10.2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.6.3.2.1

Вынесем множитель $13$ из $169$ .

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

Этап 10.2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{13 \cdot - 285}{13 \cdot 13}$

Этап 10.2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{18}{13}) = \frac{- 285}{13}$

Этап 10.2.6.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{18}{13}) = - \frac{285}{13}$

Этап 10.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{285}{13}$ .

$y = - \frac{285}{13}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} + 12 x^{2} + 36 x + 3$ .

$(- \frac{18}{13}, - \frac{285}{13})$ — локальный минимум

Этап 12