Математический анализ Примеры

$y = x - x^{2}$

Этап 1

Запишем $y = x - x^{2}$ в виде функции.

$f (x) = x - x^{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 x$

Этап 2.3

Изменим порядок членов.

$- 2 x + 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $- 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

По правилу суммы производная $x - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - 2 x$

Этап 5.1.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 2 x + 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 2 x + 1$ .

$- 2 x + 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 2 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 1$

Этап 6.3

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{1}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2$

Этап 10

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{1}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $\frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 11.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 - 1}{4}$

Этап 11.2.5

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x - x^{2}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ — локальный максимум

Этап 13