Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{15 x^{3} + 35 x^{2} - 100 x}{56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$56 x - 2 x^{2} - 4 x^{3} = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Пусть $u = x$ . Подставим $u$ вместо $x$ для всех.

$56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Этап 2.1.2

Вынесем множитель $2 u$ из $56 u - 2 u^{2} - 4 u^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Вынесем множитель $2 u$ из $56 u$ .

$2 u (28) - 2 u^{2} - 4 u^{3} = 0$

Этап 2.1.2.2

Вынесем множитель $2 u$ из $- 2 u^{2}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) - 4 u^{3} = 0$

Этап 2.1.2.3

Вынесем множитель $2 u$ из $- 4 u^{3}$ .

$2 u (28) + 2 u (- u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.4

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (28) + 2 u (- u)$ .

$2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2}) = 0$

Этап 2.1.2.5

Вынесем множитель $2 u$ из $2 u (28 - u) + 2 u (- 2 u^{2})$ .

$2 u (28 - u - 2 u^{2}) = 0$

Этап 2.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.1

Изменим порядок членов.

$2 u (- 2 u^{2} - u + 28) = 0$

Этап 2.1.3.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 28 = - 56$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- u$ .

$2 u (- 2 u^{2} - (u) + 28) = 0$

Этап 2.1.3.1.2.2

Запишем $- 1$ как $7$ плюс $- 8$

$2 u (- 2 u^{2} + (7 - 8) u + 28) = 0$

Этап 2.1.3.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 u (- 2 u^{2} + 7 u - 8 u + 28) = 0$

Этап 2.1.3.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 u ((- 2 u^{2} + 7 u) - 8 u + 28) = 0$

Этап 2.1.3.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 u (u (- 2 u + 7) + 4 (- 2 u + 7)) = 0$

Этап 2.1.3.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 u + 7$ .

$2 u ((- 2 u + 7) (u + 4)) = 0$

Этап 2.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 u (- 2 u + 7) (u + 4) = 0$

Этап 2.1.4

Заменим все вхождения $u$ на $x$ .

$2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$- 2 x + 7 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем $- 2 x + 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $- 2 x + 7$ к $0$ .

$- 2 x + 7 = 0$

Этап 2.4.2

Решим $- 2 x + 7 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x = - 7$

Этап 2.4.2.2

Разделим каждый член $- 2 x = - 7$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 x = - 7$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 2}$

Этап 2.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x = \frac{7}{2}$

Этап 2.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (- 2 x + 7) (x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{7}{2}, - 4$

Этап 3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Этап 4

Множество значений ― это множество всех допустимых значений $y$ . Используем график, чтобы найти множество значений.

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty)$

Обозначение построения множества:

${y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Этап 5

Определим область определения и множество значений.

Область определения: $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \frac{7}{2}) \cup (\frac{7}{2}, \infty), {x | x \neq 0, \frac{7}{2}, - 4}$

Диапазон: $(- \infty, - \frac{15}{4}) \cup (- \frac{15}{4}, - \frac{17}{6}) \cup (- \frac{17}{6}, - \frac{25}{14}) \cup (- \frac{25}{14}, \infty), {y | y \neq - \frac{25}{14}, - \frac{17}{6}, - \frac{15}{4}}$

Этап 6