Математический анализ Примеры

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Этап 1

Запишем $y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ в виде функции.

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\cos (x) + \frac{x}{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 3.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Этап 3.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Этап 3.3

Вычтем $\cos (x)$ из $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

Этап 5

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 6

Разделим каждый член $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 6.2.2

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Этап 6.3.2

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Этап 7

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 9

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{6}$

Этап 10

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 10.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 10.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Этап 11

Решение уравнения $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (\frac{π}{6})$

Этап 13

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Этап 15.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 15.2.1.3

Умножим $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.3.1

Умножим $\frac{π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

Этап 15.2.1.3.2

Умножим $6$ на $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- - \cos (\frac{π}{6})$

Этап 17.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 18

$x = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 19.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Этап 19.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 19.2.1.4

Умножим $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.4.1

Умножим $\frac{5 π}{6}$ на $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Этап 19.2.1.4.2

Умножим $6$ на $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Этап 19.2.2

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ — локальный минимум

Этап 21