Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{3} - 48 x - 4$

Этап 1

Запишем $y = 4 x^{3} - 48 x - 4$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 4$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 48 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 48$ на $1$ .

$12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} - 48 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x^{2} - 48$ и $0$ .

$12 x^{2} - 48$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 48$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 48)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 48)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $24 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{2} - 48 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 48 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 48 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 48$ является константой относительно $x$ , производная $- 48 x$ по $x$ равна $- 48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 48$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $12 x^{2} - 48$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 48$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 48$ .

$12 x^{2} - 48$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 48 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 48 = 0$

Этап 6.2

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{2} = 48$

Этап 6.3

Разделим каждый член $12 x^{2} = 48$ на $12$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $12 x^{2} = 48$ на $12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{48}{12}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{48}{12}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $48$ на $12$ .

$x^{2} = 4$

Этап 6.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 6.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 6.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 6.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 6.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (2)$

Этап 10

Умножим $24$ на $2$ .

$48$

Этап 11

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 4 {(2)}^{3} - 48 \cdot 2 - 4$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 4 \cdot 8 - 48 \cdot 2 - 4$

Этап 12.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f (2) = 32 - 48 \cdot 2 - 4$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 48$ на $2$ .

$f (2) = 32 - 96 - 4$

Этап 12.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $96$ из $32$ .

$f (2) = - 64 - 4$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $4$ из $- 64$ .

$f (2) = - 68$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 68$ .

$y = - 68$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (- 2)$

Этап 14

Умножим $24$ на $- 2$ .

$- 48$

Этап 15

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 48 \cdot - 2 - 4$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 4 \cdot - 8 - 48 \cdot - 2 - 4$

Этап 16.2.1.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f (- 2) = - 32 - 48 \cdot - 2 - 4$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 48$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 32 + 96 - 4$

Этап 16.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Добавим $- 32$ и $96$ .

$f (- 2) = 64 - 4$

Этап 16.2.2.2

Вычтем $4$ из $64$ .

$f (- 2) = 60$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $60$ .

$y = 60$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{3} - 48 x - 4$ .

$(2, - 68)$ — локальный минимум

$(- 2, 60)$ — локальный максимум

Этап 18