Математический анализ Примеры

$y = x^{4} e^{- x}$

Этап 1

Запишем $y = x^{4} e^{- x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{4} e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} e^{- x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Этап 3.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.2

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.4

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Этап 3.4.3.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

Этап 3.4.3.6

Вычтем $4 x^{3} e^{- x}$ из $- 4 e^{- x} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.6.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Этап 3.4.3.6.2

Вычтем $4 x^{3} e^{- x}$ из $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Этап 3.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.2.2

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3.3.3

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Этап 5.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x^{3} e^{- x}$ из $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x^{3} e^{- x}$ из $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x^{3} e^{- x}$ из $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x^{3} e^{- x}$ из $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 6.5.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 6.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.5.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 6.6

Приравняем $- x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $- x + 4$ к $0$ .

$- x + 4 = 0$

Этап 6.6.2

Решим $- x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 4$

Этап 6.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 4$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Этап 6.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.2.3.1

Разделим $- 4$ на $- 1$ .

$x = 4$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ верно.

$x = 0, 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.4

Умножим $0$ на $1$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.6

Умножим $- 8$ на $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.7

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.8

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.9

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Этап 10.1.10

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

Этап 10.1.11

Умножим $12$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Этап 10.1.12

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 10.1.13

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 10.1.14

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Этап 11.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Этап 11.2.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

Этап 11.2.2.1.5

Умножим $4$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

Этап 11.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $32 e^{2}$ из $- 16 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $- 48 e^{2}$ .

$- 48 e^{2}$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, 4)$ в первую производную $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.5

Объединим $- 16$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.7

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Этап 11.3.2.1.8

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Этап 11.3.2.1.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Этап 11.3.2.1.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Этап 11.3.2.1.11

Объединим $32$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Этап 11.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Этап 11.3.2.2.2

Добавим $- 16$ и $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(4, \infty)$ в первую производную $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $4$ .

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1296$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.5

Объединим $- 1296$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.7

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

Этап 11.4.2.1.8

Умножим $4$ на $216$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

Этап 11.4.2.1.9

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

Этап 11.4.2.1.10

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

Этап 11.4.2.1.11

Объединим $864$ и $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

Этап 11.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

Этап 11.4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.2.1

Добавим $- 1296$ и $864$ .

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

Этап 11.4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{432}{e^{6}}$ .

$- \frac{432}{e^{6}}$

Этап 11.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 4$ , $x = 4$ — локальный максимум.

$x = 4$ — локальный максимум

Этап 11.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} e^{- x}$ .

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 4$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = 4$ — локальный максимум

Этап 12