Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 5$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 5$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 5$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 14 x - 24$ и $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 14 x - 24$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 14 x) + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 14$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + \frac{d}{d x} (- 24)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x - 14$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 14$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 14 x - 24$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 24$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 14 x - 24$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 24 = - 72$ , а сумма — $b = - 14$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 14$ из $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 24 = 0$

Этап 6.2.1.2

Запишем $- 14$ как $4$ плюс $- 18$

$3 x^{2} + (4 - 18) x - 24 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 4 x - 18 x - 24 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 4 x) - 18 x - 24 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 4) - 6 (3 x + 4) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 6) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 6 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 x + 4$ к $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 4$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{4}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 4) (x - 6) = 0$ верно.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{4}{3}, 6$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{4}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{4}{3}) - 14$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$6 (\frac{- 4}{3}) - 14$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- 4}{3} - 14$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- 4}{3} - 14$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 4 - 14$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 - 14$

Этап 10.2

Вычтем $14$ из $- 8$ .

$- 22$

Этап 11

$x = - \frac{4}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{4}{3}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{4}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- \frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{4^{3}}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{3^{3}} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 {(- \frac{4}{3})}^{2} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (1 (\frac{4^{2}}{3^{2}})) - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.7

Умножим $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.8

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 \frac{16}{3^{2}} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - 7 (\frac{16}{9}) - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.10

Умножим $- 7 (\frac{16}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.10.1

Объединим $- 7$ и $\frac{16}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 7 \cdot 16}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.10.2

Умножим $- 7$ на $16$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} + \frac{- 112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (- \frac{4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.12

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.12.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4}{3}$ в числитель.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 24 (\frac{- 4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.12.2

Вынесем множитель $3$ из $- 24$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 (- 8) (\frac{- 4}{3}) + 5$

Этап 12.2.1.12.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 3 \cdot (- 8 (\frac{- 4}{3})) + 5$

Этап 12.2.1.12.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} - 8 \cdot - 4 + 5$

Этап 12.2.1.13

Умножим $- 8$ на $- 4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112}{9} + 32 + 5$

Этап 12.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $\frac{112}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - (\frac{112}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 32 + 5$

Этап 12.2.2.2

Умножим $\frac{112}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 32 + 5$

Этап 12.2.2.3

Запишем $32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} + 5$

Этап 12.2.2.4

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{1} \cdot \frac{27}{27} + 5$

Этап 12.2.2.5

Умножим $\frac{32}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + 5$

Этап 12.2.2.6

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{5}{1}$

Этап 12.2.2.7

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 12.2.2.8

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.9

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{64}{27} - \frac{112 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 27}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 112 \cdot 3 + 32 \cdot 27 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 112$ на $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 32 \cdot 27 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $32$ на $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $5$ на $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 64 - 336 + 864 + 135}{27}$

Этап 12.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Вычтем $336$ из $- 64$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 400 + 864 + 135}{27}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 400$ и $864$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{464 + 135}{27}$

Этап 12.2.5.3

Добавим $464$ и $135$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{599}{27}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $\frac{599}{27}$ .

$y = \frac{599}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (6) - 14$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $6$ на $6$ .

$36 - 14$

Этап 14.2

Вычтем $14$ из $36$ .

$22$

Этап 15

$x = 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = {(6)}^{3} - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 5$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (6) = 216 - 7 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 5$

Этап 16.2.1.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 216 - 7 \cdot 36 - 24 \cdot 6 + 5$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 7$ на $36$ .

$f (6) = 216 - 252 - 24 \cdot 6 + 5$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 24$ на $6$ .

$f (6) = 216 - 252 - 144 + 5$

Этап 16.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $252$ из $216$ .

$f (6) = - 36 - 144 + 5$

Этап 16.2.2.2

Вычтем $144$ из $- 36$ .

$f (6) = - 180 + 5$

Этап 16.2.2.3

Добавим $- 180$ и $5$ .

$f (6) = - 175$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 175$ .

$y = - 175$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 7 x^{2} - 24 x + 5$ .

$(- \frac{4}{3}, \frac{599}{27})$ — локальный максимум

$(6, - 175)$ — локальный минимум

Этап 18