Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 12 x + 12$ и $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 12 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x - 12$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 12 x + 12$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 12 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

Этап 6.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Этап 6.2.2.3

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Этап 6.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.3

Разделим каждый член $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $3 {(x - 2)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим ${(x - 2)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.5

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (2) - 12$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $6$ на $2$ .

$12 - 12$

Этап 10.2

Вычтем $12$ из $12$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 2)$ в первую производную $3 x^{2} - 12 x + 12$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 12$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 12$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 12$

Этап 11.2.2.1.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 12$

Этап 11.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 12$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $0$ и $12$ .

$f' (0) = 12$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(2, \infty)$ в первую производную $3 x^{2} - 12 x + 12$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 12$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 12$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 12$

Этап 11.3.2.1.3

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 12$

Этап 11.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Вычтем $48$ из $48$ .

$f' (4) = 0 + 12$

Этап 11.3.2.2.2

Добавим $0$ и $12$ .

$f' (4) = 12$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $12$ .

$12$

Этап 11.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 2$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 12