Математический анализ Примеры

$y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 5$

Этап 1

Запишем $y = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 5$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 5$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} - 10 x - 8$ и $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 10 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + \frac{d}{d x} (- 8)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x - 10$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 10$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + \frac{d}{d x} (- 8 x) + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + \frac{d}{d x} (- 5)$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 x^{2} - 10 x - 8$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x - 8$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 10 x - 8$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Этап 6.2

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ , а сумма — $b = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 10$ из $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x - 8 = 0$

Этап 6.2.1.2

Запишем $- 10$ как $2$ плюс $- 12$

$3 x^{2} + (2 - 12) x - 8 = 0$

Этап 6.2.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + 2 x - 12 x - 8 = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(3 x^{2} + 2 x) - 12 x - 8 = 0$

Этап 6.2.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (3 x + 2) - 4 (3 x + 2) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 2$ .

$(3 x + 2) (x - 4) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 x + 2$ к $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 x + 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 2$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{2}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(3 x + 2) (x - 4) = 0$ верно.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{2}{3}, 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{2}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- \frac{2}{3}) - 10$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2}{3}$ в числитель.

$6 (\frac{- 2}{3}) - 10$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$3 (2) \frac{- 2}{3} - 10$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 2 \frac{- 2}{3} - 10$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$2 \cdot - 2 - 10$

Этап 10.1.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 - 10$

Этап 10.2

Вычтем $10$ из $- 4$ .

$- 14$

Этап 11

$x = - \frac{2}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{2}{3}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{2}{3})}^{3} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{2^{3}}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{3^{3}} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.4

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 {(- \frac{2}{3})}^{2} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.5

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Применим правило умножения к $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.5.2

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.6

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}})) - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.7

Умножим $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 \frac{4}{3^{2}} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - 5 (\frac{4}{9}) - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.10

Умножим $- 5 (\frac{4}{9})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.10.1

Объединим $- 5$ и $\frac{4}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 5 \cdot 4}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.10.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} + \frac{- 20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} - 8 (- \frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.12

Умножим $- 8 (- \frac{2}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.12.1

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + 8 (\frac{2}{3}) - 5$

Этап 12.2.1.12.2

Объединим $8$ и $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{8 \cdot 2}{3} - 5$

Этап 12.2.1.12.3

Умножим $8$ на $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20}{9} + \frac{16}{3} - 5$

Этап 12.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $\frac{20}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - (\frac{20}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{16}{3} - 5$

Этап 12.2.2.2

Умножим $\frac{20}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} - 5$

Этап 12.2.2.3

Умножим $\frac{16}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16}{3} \cdot \frac{9}{9} - 5$

Этап 12.2.2.4

Умножим $\frac{16}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 5$

Этап 12.2.2.5

Запишем $- 5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5}{1}$

Этап 12.2.2.6

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 12.2.2.7

Умножим $\frac{- 5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.2.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{8}{27} - \frac{20 \cdot 3}{27} + \frac{16 \cdot 9}{27} + \frac{- 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 20 \cdot 3 + 16 \cdot 9 - 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Умножим $- 20$ на $3$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 16 \cdot 9 - 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $16$ на $9$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 - 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $- 5$ на $27$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 8 - 60 + 144 - 135}{27}$

Этап 12.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Вычтем $60$ из $- 8$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 68 + 144 - 135}{27}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 68$ и $144$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{76 - 135}{27}$

Этап 12.2.5.3

Вычтем $135$ из $76$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{- 59}{27}$

Этап 12.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{2}{3}) = - \frac{59}{27}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{59}{27}$ .

$y = - \frac{59}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (4) - 10$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $6$ на $4$ .

$24 - 10$

Этап 14.2

Вычтем $10$ из $24$ .

$14$

Этап 15

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 5$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 64 - 5 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 - 5$

Этап 16.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 64 - 5 \cdot 16 - 8 \cdot 4 - 5$

Этап 16.2.1.3

Умножим $- 5$ на $16$ .

$f (4) = 64 - 80 - 8 \cdot 4 - 5$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 8$ на $4$ .

$f (4) = 64 - 80 - 32 - 5$

Этап 16.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Вычтем $80$ из $64$ .

$f (4) = - 16 - 32 - 5$

Этап 16.2.2.2

Вычтем $32$ из $- 16$ .

$f (4) = - 48 - 5$

Этап 16.2.2.3

Вычтем $5$ из $- 48$ .

$f (4) = - 53$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $- 53$ .

$y = - 53$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 5$ .

$(- \frac{2}{3}, - \frac{59}{27})$ — локальный максимум

$(4, - 53)$ — локальный минимум

Этап 18