Математический анализ Примеры

$y = x^{2} e^{x}$

Этап 1

Запишем $y = x^{2} e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 2.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x e^{x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.3

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Этап 3.3.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Этап 3.4.2

Добавим $e^{x} (2 x)$ и $2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 5.1.2

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Изменим порядок членов.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x e^{x}$ из $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 6.6

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.6.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} (x + 2) = 0$ верно.

$x = 0, - 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 10.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 10.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 10.1.4

Умножим $4$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Этап 10.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Этап 10.1.6

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Этап 10.1.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Этап 10.1.8

Умножим $2$ на $1$ .

$0 + 0 + 2$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 2$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$2$

Этап 11

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Этап 12.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Этап 12.2.3

Умножим $0$ на $1$ .

$f (0) = 0$

Этап 12.2.4

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.4

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.5

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.6

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Этап 14.1.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Этап 14.1.9

Объединим $2$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Этап 14.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Этап 14.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.2.1

Вычтем $8$ из $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Этап 14.2.2.2

Добавим $- 4$ и $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Этап 14.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Этап 15

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Этап 16.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Этап 16.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ — локальный минимум

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ — локальный максимум

Этап 18