Математический анализ Примеры

$y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

Этап 1

Запишем $y = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ в виде функции.

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 2.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

Этап 2.3.4

Добавим $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ и $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $- 6 x + 2$ и $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $- x^{3} + x^{2} + x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 5.1.3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1 + 0$

Этап 5.1.3.4

Добавим $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ и $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 1 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 1 = 0$

Этап 6.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ , а сумма — $b = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.2

Запишем $- 2$ как $1$ плюс $- 3$

$- (3 x^{2} + (1 - 3) x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- (3 x^{2} + 1 x - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$- (3 x^{2} + x - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$- ((3 x^{2} + x) - 3 x - 1) = 0$

Этап 6.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$- (x (3 x + 1) - (3 x + 1)) = 0$

Этап 6.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x + 1$ .

$- ((3 x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 6.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (3 x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $3 x + 1$ к $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Этап 6.4.2

Решим $3 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$3 x = - 1$

Этап 6.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = - 1$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Этап 6.4.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{3}$

Этап 6.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (3 x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - \frac{1}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 (- \frac{1}{3}) + 2$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3}$ в числитель.

$- 6 (\frac{- 1}{3}) + 2$

Этап 10.1.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 1}{3} + 2$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель.

$3 \cdot - 2 \frac{- 1}{3} + 2$

Этап 10.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- 2 \cdot - 1 + 2$

Этап 10.1.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 + 2$

Этап 10.2

Добавим $2$ и $2$ .

$4$

Этап 11

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{1}{3}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- \frac{1}{3}) = - {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{3})}^{3}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{3}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{1^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.2.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.3

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = 1 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.4

Умножим $\frac{1^{3}}{3^{3}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.5

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3^{3}} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.6

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.7.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.8

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + 1 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.9

Умножим $\frac{1^{2}}{3^{2}}$ на $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.10

Единица в любой степени равна единице.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.2.11

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.3.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3} + 5$

Этап 12.2.3.3

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9}) + 5$

Этап 12.2.3.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + 5$

Этап 12.2.3.5

Запишем $5$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1}$

Этап 12.2.3.6

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Этап 12.2.3.7

Умножим $\frac{5}{1}$ на $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3.8

Изменим порядок множителей в $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3.9

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.3.10

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27} + \frac{5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 5 \cdot 27}{27}$

Этап 12.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Умножим $5$ на $27$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{1 + 3 - 9 + 135}{27}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $1$ и $3$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{4 - 9 + 135}{27}$

Этап 12.2.5.3

Вычтем $9$ из $4$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{- 5 + 135}{27}$

Этап 12.2.5.4

Добавим $- 5$ и $135$ .

$f (- \frac{1}{3}) = \frac{130}{27}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $\frac{130}{27}$ .

$y = \frac{130}{27}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 6 \cdot 1 + 2$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$- 6 + 2$

Этап 14.2

Добавим $- 6$ и $2$ .

$- 4$

Этап 15

$x = 1$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Избавимся от скобок.

$f (1) = - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Этап 16.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Этап 16.2.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = - 1 + {(1)}^{2} + 1 + 5$

Этап 16.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = - 1 + 1 + 1 + 5$

Этап 16.2.3

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (1) = 0 + 1 + 5$

Этап 16.2.3.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (1) = 1 + 5$

Этап 16.2.3.3

Добавим $1$ и $5$ .

$f (1) = 6$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = - x^{3} + x^{2} + x + 5$ .

$(- \frac{1}{3}, \frac{130}{27})$ — локальный минимум

$(1, 6)$ — локальный максимум

Этап 18