Математический анализ Примеры

$y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Этап 1

Запишем $y = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 4 x - 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 3.2.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (- 12)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $2 x - 4$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x - 4$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (- 12 x)$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \frac{d}{d x} x$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12 \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x - 12$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} - 4 x - 12$ .

$x^{2} - 4 x - 12$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} - 4 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

Этап 6.2

Разложим $x^{2} - 4 x - 12$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 12$ , а сумма — $- 4$ .

$- 6, 2$

Этап 6.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x - 6) (x + 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 6$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 6$ к $0$ .

$x - 6 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$x = 6$

Этап 6.5

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.5.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 6) (x + 2) = 0$ верно.

$x = 6, - 2$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 6, - 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 6$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (6) - 4$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $2$ на $6$ .

$12 - 4$

Этап 10.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$

Этап 11

$x = 6$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 6$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} - 2 {(6)}^{2} - 12 \cdot 6$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Запишем $- 2 {(6)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} - 12 \cdot 6$

Этап 12.2.1.2

Умножим $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot 6$

Этап 12.2.1.3

Умножим $\frac{- 2 {(6)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot 6$

Этап 12.2.1.4

Запишем $- 12 \cdot 6$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1}$

Этап 12.2.1.5

Умножим $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 12.2.1.6

Умножим $\frac{- 12 \cdot 6}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (6) = \frac{{(6)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(6)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (6) = \frac{{(6)}^{3} - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 {(6)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3.2

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = \frac{216 - 2 \cdot 36 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3.3

Умножим $- 2 \cdot 36 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.3.1

Умножим $- 2$ на $36$ .

$f (6) = \frac{216 - 72 \cdot 3 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3.3.2

Умножим $- 72$ на $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 12 \cdot 6 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3.4

Умножим $- 12 \cdot 6 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.4.1

Умножим $- 12$ на $6$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 72 \cdot 3}{3}$

Этап 12.2.3.4.2

Умножим $- 72$ на $3$ .

$f (6) = \frac{216 - 216 - 216}{3}$

Этап 12.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Вычтем $216$ из $216$ .

$f (6) = \frac{0 - 216}{3}$

Этап 12.2.4.2

Вычтем $216$ из $0$ .

$f (6) = \frac{- 216}{3}$

Этап 12.2.4.3

Разделим $- 216$ на $3$ .

$f (6) = - 72$

Этап 12.2.5

Окончательный ответ: $- 72$ .

$y = - 72$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 2) - 4$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 - 4$

Этап 14.2

Вычтем $4$ из $- 4$ .

$- 8$

Этап 15

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Запишем $- 2 {(- 2)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} - 12 \cdot - 2$

Этап 16.2.1.2

Умножим $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} - 12 \cdot - 2$

Этап 16.2.1.3

Умножим $\frac{- 2 {(- 2)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} - 12 \cdot - 2$

Этап 16.2.1.4

Запишем $- 12 \cdot - 2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1}$

Этап 16.2.1.5

Умножим $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 16.2.1.6

Умножим $\frac{- 12 \cdot - 2}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{- 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3} - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 2 {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.2

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.2.1

Умножим $- 2$ на ${(- 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + (- 2) {(- 2)}^{2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{1 + 2} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + {(- 2)}^{3} \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 8 \cdot 3 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.4

Умножим $- 8$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 - 12 \cdot - 2 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.5

Умножим $- 12 \cdot - 2 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.3.5.1

Умножим $- 12$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 24 \cdot 3}{3}$

Этап 16.2.3.5.2

Умножим $24$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 - 24 + 72}{3}$

Этап 16.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Вычтем $24$ из $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 32 + 72}{3}$

Этап 16.2.4.2

Добавим $- 32$ и $72$ .

$f (- 2) = \frac{40}{3}$

Этап 16.2.5

Окончательный ответ: $\frac{40}{3}$ .

$y = \frac{40}{3}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} - 12 x$ .

$(6, - 72)$ — локальный минимум

$(- 2, \frac{40}{3})$ — локальный максимум

Этап 18