Математический анализ Примеры

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Этап 1

Запишем $y = e^{2 x} - e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $e^{2 x} - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 e^{2 x} - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{2 x}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.2.2

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.6

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.2.7

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $e^{2 x} - e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.1.2

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.2.5

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 5.1.3.2

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Перепишем $e^{2 x}$ в виде ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Этап 6.2.2

Пусть $u = e^{x}$ . Подставим $u$ вместо $e^{x}$ для всех.

$2 u^{2} - u = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2} - u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Вынесем множитель $u$ из $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Этап 6.2.3.2

Вынесем множитель $u$ из $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Этап 6.2.3.3

Вынесем множитель $u$ из $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Этап 6.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 6.5

Приравняем $2 e^{x} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $2 e^{x} - 1$ к $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $2 e^{x} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 e^{x} = 1$

Этап 6.5.2.2

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Разделим каждый член $2 e^{x} = 1$ на $2$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.5.2.2.2.1.2

Разделим $e^{x}$ на $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Этап 6.5.2.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Развернем $\ln (e^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6.5.2.4.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ верно.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.6

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.6.2

Перепишем это выражение.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 10.1.7

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$1 - \frac{1}{2}$

Этап 10.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Этап 10.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 - 1}{2}$

Этап 10.2.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2}$

Этап 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\ln (\frac{1}{2})$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Упростим $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2.1.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Этап 12.2.1.6

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Этап 12.2.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Этап 12.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Этап 12.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Этап 12.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Этап 12.2.5

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Этап 12.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Этап 12.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ — локальный минимум

Этап 14