Математический анализ Примеры

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $- (x - 4) e^{x} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x - 4) e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 4$ и $g (x) = e^{x}$ .

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.4

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.2.8

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 1.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Этап 1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Этап 1.4.3.2

Вычтем $e^{x}$ из $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Этап 1.4.3.3

Добавим $- x e^{x} + 3 e^{x}$ и $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 1.4.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Этап 1.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x e^{x} + 3 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.2

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.3

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.3.2

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 2.4.2

Добавим $- e^{x}$ и $3 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок членов.

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $- (x - 4) e^{x} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (x - 4) e^{x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.2

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.3

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.4

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.7

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.2.8

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Этап 4.1.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Этап 4.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.3.1

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.3.2

Вычтем $e^{x}$ из $4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.3.3

Добавим $- x e^{x} + 3 e^{x}$ и $0$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 4.1.4.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

Этап 4.1.4.5

Изменим порядок множителей в $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $P (x)$ по $x$ равна $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Приравняем $- x + 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- x + 3$ к $0$ .

$- x + 3 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- x + 3 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 3$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 3$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Разделим $- 3$ на $- 1$ .

$x = 3$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- x + 3) = 0$ верно.

$x = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Этап 9

Добавим $- 3 e^{3}$ и $2 e^{3}$ .

$- e^{3}$

Этап 10

$x = 3$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 3$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вычтем $4$ из $3$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Этап 11.2.1.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Этап 11.2.1.3

Умножим $e^{3}$ на $1$ .

$P (3) = e^{3} - 4$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $e^{3} - 4$ .

$y = e^{3} - 4$

Этап 12

Это локальные экстремумы $P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ .

$(3, e^{3} - 4)$ — локальный максимум

Этап 13