Математический анализ Примеры

$g (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $6 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $6$ .

$18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$18 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$18 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$18 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$18 x^{2} - 30 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$18 x^{2} - 30 x + 12 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$18 x^{2} - 30 x + 12$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $18 x^{2} - 30 x + 12$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$g'' (x) = \frac{d}{d x} (18 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $18$ является константой относительно $x$ , производная $18 x^{2}$ по $x$ равна $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = 18 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = 18 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $18$ .

$g'' (x) = 36 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 30$ является константой относительно $x$ , производная $- 30 x$ по $x$ равна $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$g'' (x) = 36 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$g'' (x) = 36 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 30$ на $1$ .

$g'' (x) = 36 x - 30 + \frac{d}{d x} (12)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = 36 x - 30 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $36 x - 30$ и $0$ .

$g'' (x) = 36 x - 30$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$18 x^{2} - 30 x + 12 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $6 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $6$ .

$f' (x) = 18 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{2}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $- 15$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 30 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 30 x + 12 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $12$ на $1$ .

$f' (x) = 18 x^{2} - 30 x + 12$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $18 x^{2} - 30 x + 12$ .

$18 x^{2} - 30 x + 12$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $18 x^{2} - 30 x + 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$18 x^{2} - 30 x + 12 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{2} - 30 x + 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{2}$ .

$6 (3 x^{2}) - 30 x + 12 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $6$ из $- 30 x$ .

$6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x) + 12 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $6$ из $12$ .

$6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x) + 6 (2) = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (3 x^{2}) + 6 (- 5 x)$ .

$6 (3 x^{2} - 5 x) + 6 (2) = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (3 x^{2} - 5 x) + 6 (2)$ .

$6 (3 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 x$ .

$6 (3 x^{2} - 5 x + 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $- 2$ плюс $- 3$

$6 (3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$6 ((3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2) = 0$

Этап 5.2.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$6 (x (3 x - 2) - (3 x - 2)) = 0$

Этап 5.2.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $3 x - 2$ .

$6 ((3 x - 2) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$6 (3 x - 2) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$3 x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $3 x - 2$ к $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Этап 5.4.2

Решим $3 x - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2$

Этап 5.4.2.2

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 2$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.4.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Этап 5.4.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Этап 5.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $6 (3 x - 2) (x - 1) = 0$ верно.

$x = \frac{2}{3}, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{2}{3}, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \frac{2}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 (\frac{2}{3}) - 30$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $36$ .

$3 (12) \frac{2}{3} - 30$

Этап 9.1.1.2

Сократим общий множитель.

$3 \cdot 12 \frac{2}{3} - 30$

Этап 9.1.1.3

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 2 - 30$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $2$ .

$24 - 30$

Этап 9.2

Вычтем $30$ из $24$ .

$- 6$

Этап 10

$x = \frac{2}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{2}{3}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{2}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = 6 {(\frac{2}{3})}^{3} - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{2^{3}}{3^{3}}) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$g (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{3^{3}}) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$g (\frac{2}{3}) = 6 (\frac{8}{27}) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$g (\frac{2}{3}) = 3 (2) (\frac{8}{27}) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$g (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$g (\frac{2}{3}) = 3 \cdot (2 (\frac{8}{3 \cdot 9})) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$g (\frac{2}{3}) = 2 (\frac{8}{9}) - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.5

Объединим $2$ и $\frac{8}{9}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{2 \cdot 8}{9} - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.6

Умножим $2$ на $8$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 15 {(\frac{2}{3})}^{2} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.7

Применим правило умножения к $\frac{2}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 15 \frac{2^{2}}{3^{2}} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.8

Возведем $2$ в степень $2$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 15 \frac{4}{3^{2}} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.9

Возведем $3$ в степень $2$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 15 (\frac{4}{9}) + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.10

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.10.1

Вынесем множитель $3$ из $- 15$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 (- 5) (\frac{4}{9}) + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.10.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.10.3

Сократим общий множитель.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{4}{3 \cdot 3}) + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.10.4

Перепишем это выражение.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - 5 (\frac{4}{3}) + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.11

Объединим $- 5$ и $\frac{4}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 5 \cdot 4}{3} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.12

Умножим $- 5$ на $4$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} + \frac{- 20}{3} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20}{3} + 12 (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.14

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.14.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20}{3} + 3 (4) (\frac{2}{3})$

Этап 11.2.1.14.2

Сократим общий множитель.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20}{3} + 3 \cdot (4 (\frac{2}{3}))$

Этап 11.2.1.14.3

Перепишем это выражение.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20}{3} + 4 \cdot 2$

Этап 11.2.1.15

Умножим $4$ на $2$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20}{3} + 8$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Умножим $\frac{20}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - (\frac{20}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 8$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{20}{3}$ на $\frac{3}{3}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 8$

Этап 11.2.2.3

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{1}$

Этап 11.2.2.4

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{9}{9}$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{8 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $3$ на $3$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16}{9} - \frac{20 \cdot 3}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 20 \cdot 3 + 8 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $- 20$ на $3$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 60 + 8 \cdot 9}{9}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $8$ на $9$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{16 - 60 + 72}{9}$

Этап 11.2.5

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Вычтем $60$ из $16$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{- 44 + 72}{9}$

Этап 11.2.5.2

Добавим $- 44$ и $72$ .

$g (\frac{2}{3}) = \frac{28}{9}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $\frac{28}{9}$ .

$y = \frac{28}{9}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 (1) - 30$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $36$ на $1$ .

$36 - 30$

Этап 13.2

Вычтем $30$ из $36$ .

$6$

Этап 14

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$g (1) = 6 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$g (1) = 6 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 15.2.1.2

Умножим $6$ на $1$ .

$g (1) = 6 - 15 {(1)}^{2} + 12 (1)$

Этап 15.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$g (1) = 6 - 15 \cdot 1 + 12 (1)$

Этап 15.2.1.4

Умножим $- 15$ на $1$ .

$g (1) = 6 - 15 + 12 (1)$

Этап 15.2.1.5

Умножим $12$ на $1$ .

$g (1) = 6 - 15 + 12$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $15$ из $6$ .

$g (1) = - 9 + 12$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 9$ и $12$ .

$g (1) = 3$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 16

Это локальные экстремумы $g (x) = 6 x^{3} - 15 x^{2} + 12 x$ .

$(\frac{2}{3}, \frac{28}{9})$ — локальный максимум

$(1, 3)$ — локальный минимум

Этап 17