Математический анализ Примеры

$H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 t^{9} + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- \frac{5}{6}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{5}{6} t^{12}$ по $t$ равна $- \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} \frac{d}{d t} [t^{12}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$10 t^{9} - \frac{5}{6} (12 t^{11})$

Этап 1.2.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) t^{11}$

Этап 1.2.4

Объединим $- 12$ и $\frac{5}{6}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Этап 1.2.5

Умножим $- 12$ на $5$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Этап 1.2.6

Объединим $\frac{- 60}{6}$ и $t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Этап 1.2.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Вынесем множитель $6$ из $- 60 t^{11}$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Этап 1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Этап 1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Этап 1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Этап 1.2.7.2.4

Разделим $- 10 t^{11}$ на $1$ .

$10 t^{9} - 10 t^{11}$

Этап 1.3

Изменим порядок членов.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}] + \frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{11}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 10 t^{11}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $t$ , производная $- 10 t^{11}$ по $t$ равна $- 10 \frac{d}{d t} [t^{11}]$ .

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{11} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 11$ .

$H'' (t) = - 10 (11 t^{10}) + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Этап 2.2.3

Умножим $11$ на $- 10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + \frac{d}{d t} (10 t^{9})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [10 t^{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t^{9}$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 \frac{d}{d t} (t^{9})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 10 (9 t^{8})$

Этап 2.3.3

Умножим $9$ на $10$ .

$H'' (t) = - 110 t^{10} + 90 t^{8}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{10}] + \frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t^{10}) + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{d}{d t} (- \frac{5}{6} t^{12})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{5}{6} t^{12}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot \frac{d}{d t} t^{12}$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 12$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - \frac{5}{6} \cdot (12 t^{11})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $12$ на $- 1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 12 (\frac{5}{6}) \cdot t^{11}$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 12$ и $\frac{5}{6}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 12 \cdot 5}{6} t^{11}$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 12$ на $5$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60}{6} t^{11}$

Этап 4.1.2.6

Объединим $\frac{- 60}{6}$ и $t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 60 t^{11}}{6}$

Этап 4.1.2.7

Сократим общий множитель $- 60$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.1

Вынесем множитель $6$ из $- 60 t^{11}$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6}$

Этап 4.1.2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.7.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 (1)}$

Этап 4.1.2.7.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{6 (- 10 t^{11})}{6 \cdot 1}$

Этап 4.1.2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (t) = 10 t^{9} + \frac{- 10 t^{11}}{1}$

Этап 4.1.2.7.2.4

Разделим $- 10 t^{11}$ на $1$ .

$f' (t) = 10 t^{9} - 10 t^{11}$

Этап 4.1.3

Изменим порядок членов.

$f' (t) = - 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Этап 4.2

Первая производная $H (t)$ по $t$ равна $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 10 t^{11} + 10 t^{9} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 10 t^{9}$ из $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 10 t^{9}$ из $- 10 t^{11}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} + 10 t^{9} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 10 t^{9}$ из $10 t^{9}$ .

$- 10 t^{9} t^{2} - 10 t^{9} \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 10 t^{9}$ из $- 10 t^{9} (t^{2}) - 10 t^{9} (- 1)$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 10 t^{9} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$- 10 t^{9} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t^{9} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $t^{9}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $t^{9}$ к $0$ .

$t^{9} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $t^{9} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \sqrt[9]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[9]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{9}$ .

$t = \sqrt[9]{0^{9}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$t = 0$

Этап 5.5

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $t - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 10 t^{9} (t + 1) (t - 1) = 0$ верно.

$t = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 110 {(0)}^{10} + 90 {(0)}^{8}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 110 \cdot 0 + 90 {(0)}^{8}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 110$ на $0$ .

$0 + 90 {(0)}^{8}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 90 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $90$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $t$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 4$ .

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{11} + 10 {(- 4)}^{9}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $11$ .

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 4194304 + 10 {(- 4)}^{9}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 4194304$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 {(- 4)}^{9}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $9$ .

$H' (- 4) = 41943040 + 10 \cdot - 262144$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $10$ на $- 262144$ .

$H' (- 4) = 41943040 - 2621440$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $2621440$ из $41943040$ .

$H' (- 4) = 39321600$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $39321600$ .

$39321600$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 0.5$ .

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{11} + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $11$ .

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00048828 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 0.00048828$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 {(- 0.5)}^{9}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $9$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 + 10 \cdot - 0.00195312$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $10$ на $- 0.00195312$ .

$H' (- 0.5) = 0.00488281 - 0.01953125$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $0.01953125$ из $0.00488281$ .

$H' (- 0.5) = - 0.01464843$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.01464843$ .

$- 0.01464843$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0.5$ .

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{11} + 10 {(0.5)}^{9}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $11$ .

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00048828 + 10 {(0.5)}^{9}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 10$ на $0.00048828$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 {(0.5)}^{9}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $9$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 10 \cdot 0.00195312$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $10$ на $0.00195312$ .

$H' (0.5) = - 0.00488281 + 0.01953125$

Этап 10.4.2.2

Добавим $- 0.00488281$ и $0.01953125$ .

$H' (0.5) = 0.01464843$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $0.01464843$ .

$0.01464843$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $- 10 t^{11} + 10 t^{9}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$H' (4) = - 10 {(4)}^{11} + 10 {(4)}^{9}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $11$ .

$H' (4) = - 10 \cdot 4194304 + 10 {(4)}^{9}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $- 10$ на $4194304$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 {(4)}^{9}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $9$ .

$H' (4) = - 41943040 + 10 \cdot 262144$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $10$ на $262144$ .

$H' (4) = - 41943040 + 2621440$

Этап 10.5.2.2

Добавим $- 41943040$ и $2621440$ .

$H' (4) = - 39321600$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 39321600$ .

$- 39321600$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = - 1$ , $t = - 1$ — локальный максимум.

$t = - 1$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = 0$ , $t = 0$ — локальный минимум.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = 1$ , $t = 1$ — локальный максимум.

$t = 1$ — локальный максимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $H (t) = t^{10} - \frac{5}{6} t^{12}$ .

$t = - 1$ — локальный максимум

$t = 0$ — локальный минимум

$t = 1$ — локальный максимум

$t = - 1$ — локальный максимум

$t = 0$ — локальный минимум

$t = 1$ — локальный максимум

Этап 11