Математический анализ Примеры

$h (t) = t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 t^{\frac{1}{4}}$ по $t$ равна $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 1.3.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Этап 1.3.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 1.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 1.3.10

Перенесем $t^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.3.11

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Этап 1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Этап 1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}] + \frac{d}{d t} [- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}]$ .

$h'' (t) = \frac{d}{d t} (\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{3}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}}$ по $t$ равна $\frac{3}{4} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}]$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ в виде ${(t^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot \frac{d}{d t} ({(t^{\frac{1}{4}})}^{- 1}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{- 1}$ и $g (t) = t^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $t^{\frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d t} (t^{\frac{1}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{1}{4}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $t^{\frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{1}{4}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.4

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- {(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{4}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{4} \cdot - 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.2.3

Сократим общий множитель.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.2.4

Перепишем это выражение.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{\frac{- 1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.5.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.9.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.11

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- t^{- \frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.12

Объединим $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4}} t^{- \frac{1}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13

Умножим $t^{- \frac{3}{4}}$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{1}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.2

Чтобы записать $- \frac{1}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.13.3.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{3}{4} - \frac{2}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{\frac{- 3 - 2}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.5

Вычтем $2$ из $- 3$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{\frac{- 5}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.13.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{t^{- \frac{5}{4}}}{4}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.14

Перенесем $t^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (t) = \frac{3}{4} \cdot (- \frac{1}{4 t^{\frac{5}{4}}}) + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.15

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{4 t^{\frac{5}{4}}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{4 (4 t^{\frac{5}{4}})} + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.2.16

Умножим $4$ на $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{d}{d t} (- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{3}{2}$ является константой относительно $t$ , производная $- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ по $t$ равна $- \frac{3}{2} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}]$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} \frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{t^{\frac{3}{4}}}$ в виде ${(t^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d t} {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 1}$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t^{\frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d t} (t^{\frac{3}{4}}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{\frac{3}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2} \frac{d}{d t} t^{\frac{3}{4}})$

Этап 2.3.4

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- {(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{3}{4}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{4} \cdot - 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 (2)} \cdot - 2} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.3

Сократим общий множитель.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.2.4

Перепишем это выражение.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3}{2} \cdot - 1} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.3

Объединим $\frac{3}{2}$ и $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{\frac{- 3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1}))$

Этап 2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}))$

Этап 2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}))$

Этап 2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}}))$

Этап 2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}}))$

Этап 2.3.9.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}}))$

Этап 2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} (\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}}))$

Этап 2.3.11

Объединим $\frac{3}{4}$ и $t^{- \frac{1}{4}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- t^{- \frac{3}{2}} \frac{3 t^{- \frac{1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.12

Объединим $\frac{3 t^{- \frac{1}{4}}}{4}$ и $t^{- \frac{3}{2}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{1}{4}} t^{- \frac{3}{2}}}{4})$

Этап 2.3.13

Умножим $t^{- \frac{1}{4}}$ на $t^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Перенесем $t^{- \frac{3}{2}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 (t^{- \frac{3}{2}} t^{- \frac{1}{4}})}{4})$

Этап 2.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.3

Чтобы записать $- \frac{3}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.4.1

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{3 \cdot 2}{4} - \frac{1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 3 \cdot 2 - 1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.6.1

Умножим $- 3$ на $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 6 - 1}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.6.2

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{\frac{- 7}{4}}}{4})$

Этап 2.3.13.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3 t^{- \frac{7}{4}}}{4})$

Этап 2.3.14

Перенесем $t^{- \frac{7}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} - \frac{3}{2} \cdot (- \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}})$

Этап 2.3.15

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + 1 (\frac{3}{2}) \cdot \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$

Этап 2.3.16

Умножим $\frac{3}{2}$ на $1$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$

Этап 2.3.17

Умножим $\frac{3}{2}$ на $\frac{3}{4 t^{\frac{7}{4}}}$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{3 \cdot 3}{2 (4 t^{\frac{7}{4}})}$

Этап 2.3.18

Умножим $3$ на $3$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{9}{2 (4 t^{\frac{7}{4}})}$

Этап 2.3.19

Умножим $4$ на $2$ .

$h'' (t) = - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}} + \frac{9}{8 t^{\frac{7}{4}}}$

Этап 2.4

Изменим порядок членов.

$h'' (t) = \frac{9}{8 t^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 t^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $t^{\frac{3}{4}} - 6 t^{\frac{1}{4}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}] + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [t^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{3 - 4}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.5.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$\frac{3}{4} t^{\frac{- 1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 6 t^{\frac{1}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $t$ , производная $- 6 t^{\frac{1}{4}}$ по $t$ равна $- 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{4}}]$

Этап 4.1.3.2

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1})$

Этап 4.1.3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 4.1.3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.1.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{1 - 4}{4}})$

Этап 4.1.3.6.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{\frac{- 3}{4}})$

Этап 4.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 (\frac{1}{4} t^{- \frac{3}{4}})$

Этап 4.1.3.8

Объединим $\frac{1}{4}$ и $t^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - 6 \frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 4.1.3.9

Объединим $- 6$ и $\frac{t^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6 t^{- \frac{3}{4}}}{4}$

Этап 4.1.3.10

Перенесем $t^{- \frac{3}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 6}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.1.3.11

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{4 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.1.3.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.12.1

Вынесем множитель $2$ из $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 (- 3)}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Этап 4.1.3.12.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (2 t^{\frac{3}{4}})}$

Этап 4.1.3.12.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.1.3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3}{4} t^{- \frac{1}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.1.4.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{1}{t^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (t) = \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 4.2

Первая производная $h (t)$ по $t$ равна $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$

Этап 5.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$

Этап 5.2.2

Так как $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $4, 2, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ .

Этап 5.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 5.2.4

У $4$ есть множители: $2$ и $2$ .

$2 \cdot 2$

Этап 5.2.5

Поскольку $2$ не имеет множителей, кроме $1$ и $2$ .

$2$ — простое число

Этап 5.2.6

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 5.2.7

НОК $4, 2, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$2 \cdot 2$

Этап 5.2.8

Умножим $2$ на $2$ .

$4$

Этап 5.2.9

НОК $t^{\frac{1}{4}}, t^{\frac{3}{4}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$t^{\frac{3}{4}}$

Этап 5.2.10

НОК $4 t^{\frac{1}{4}}, 2 t^{\frac{3}{4}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $4$ и переменной части.

$4 t^{\frac{3}{4}}$

Этап 5.3

Каждый член в $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ умножим на $4 t^{\frac{3}{4}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим каждый член $\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} = 0$ на $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{3}{4 t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} t^{\frac{3}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.3

Сократим общий множитель $t^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{4}}$ из $t^{\frac{3}{4}}$ .

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{t^{\frac{1}{4}}} (t^{\frac{1}{4}} t^{\frac{2}{4}}) - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$3 t^{\frac{2}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 t^{\frac{2 (1)}{4}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$3 t^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$3 t^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.5

Сократим общий множитель $2 t^{\frac{3}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$ в числитель.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (4 t^{\frac{3}{4}}) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.5.2

Вынесем множитель $2 t^{\frac{3}{4}}$ из $4 t^{\frac{3}{4}}$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} (2)) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$3 t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3}{2 t^{\frac{3}{4}}} (2 t^{\frac{3}{4}} \cdot 2) = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$3 t^{\frac{1}{2}} - 3 \cdot 2 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.2.1.6

Умножим $- 3$ на $2$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 (4 t^{\frac{3}{4}})$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Умножим $0 (4 t^{\frac{3}{4}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Умножим $4$ на $0$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 t^{\frac{3}{4}}$

Этап 5.3.3.1.2

Умножим $0$ на $t^{\frac{3}{4}}$ .

$3 t^{\frac{1}{2}} - 6 = 0$

Этап 5.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Добавим $6$ к обеим частям уравнения.

$3 t^{\frac{1}{2}} = 6$

Этап 5.4.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 5.4.3

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Упростим ${(3 t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.1

Применим правило умножения к $3 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 5.4.3.1.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 {(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Этап 5.4.3.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 5.4.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$9 t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Этап 5.4.3.1.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$9 t^{1} = 6^{2}$

Этап 5.4.3.1.1.4

Упростим.

$9 t = 6^{2}$

Этап 5.4.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.2.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$9 t = 36$

Этап 5.4.4

Разделим каждый член $9 t = 36$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Разделим каждый член $9 t = 36$ на $9$ .

$\frac{9 t}{9} = \frac{36}{9}$

Этап 5.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 t}{9} = \frac{36}{9}$

Этап 5.4.4.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{36}{9}$

Этап 5.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.3.1

Разделим $36$ на $9$ .

$t = 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t^{1}}} - \frac{3}{2 t^{\frac{3}{4}}}$

Этап 6.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t^{1}}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$

Этап 6.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{3}{4 \sqrt[4]{t}} - \frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{3}{4 \sqrt[4]{t}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$4 \sqrt[4]{t} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${(4 \sqrt[4]{t})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{t}$ в виде $t^{\frac{1}{4}}$ .

${(4 t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(4 t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $4 t^{\frac{1}{4}}$ .

$4^{4} {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Возведем $4$ в степень $4$ .

$256 {(t^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$256 t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$256 t^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$256 t^{1} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.4

Упростим.

$256 t = 0^{4}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$256 t = 0$

Этап 6.3.3

Разделим каждый член $256 t = 0$ на $256$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Разделим каждый член $256 t = 0$ на $256$ .

$\frac{256 t}{256} = \frac{0}{256}$

Этап 6.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Сократим общий множитель $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{256 t}{256} = \frac{0}{256}$

Этап 6.3.3.2.1.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t = \frac{0}{256}$

Этап 6.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.3.1

Разделим $0$ на $256$ .

$t = 0$

Этап 6.4

Зададим знаменатель в $\frac{3}{2 \sqrt[4]{t^{3}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 \sqrt[4]{t^{3}} = 0$

Этап 6.5

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${(2 \sqrt[4]{t^{3}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{t^{3}}$ в виде $t^{\frac{3}{4}}$ .

${(2 t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Упростим ${(2 t^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.1

Применим правило умножения к $2 t^{\frac{3}{4}}$ .

$2^{4} {(t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $4$ .

$16 {(t^{\frac{3}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(t^{\frac{3}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16 t^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$16 t^{\frac{3}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$16 t^{3} = 0^{4}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$16 t^{3} = 0$

Этап 6.5.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Разделим каждый член $16 t^{3} = 0$ на $16$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.1

Разделим каждый член $16 t^{3} = 0$ на $16$ .

$\frac{16 t^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 6.5.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{16 t^{3}}{16} = \frac{0}{16}$

Этап 6.5.3.1.2.1.2

Разделим $t^{3}$ на $1$ .

$t^{3} = \frac{0}{16}$

Этап 6.5.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1.3.1

Разделим $0$ на $16$ .

$t^{3} = 0$

Этап 6.5.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.5.3.3

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$t = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.5.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$t = 0$

Этап 6.6

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{t}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$t < 0$

Этап 6.7

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{t^{3}}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$t^{3} < 0$

Этап 6.8

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt[3]{t^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.8.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$t < \sqrt[3]{0}$

Этап 6.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$t < \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.8.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$t < 0$

Этап 6.9

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 4, 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{9}{8 {(4)}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 4^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{7}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 \frac{7}{2 (2)}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{2 \frac{7}{2 \cdot 2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2^{3} \cdot 2^{\frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9}{2^{3 + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.5

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{3 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.6

Объединим $3$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{3 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2^{\frac{3 \cdot 2 + 7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.8.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{9}{2^{\frac{6 + 7}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.1.8.2

Добавим $6$ и $7$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{16 {(4)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Перепишем $16$ в виде $2^{4}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 4^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.2.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{\frac{5}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 (\frac{5}{4})}}$

Этап 9.1.2.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 \frac{5}{2 (2)}}}$

Этап 9.1.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{2 \frac{5}{2 \cdot 2}}}$

Этап 9.1.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4} \cdot 2^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4 + \frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.2.5

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.2.6

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}}}$

Этап 9.1.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{4 \cdot 2 + 5}{2}}}$

Этап 9.1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.8.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{8 + 5}{2}}}$

Этап 9.1.2.8.2

Добавим $8$ и $5$ .

$\frac{9}{2^{\frac{13}{2}}} - \frac{3}{2^{\frac{13}{2}}}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{9 - 3}{2^{\frac{13}{2}}}$

Этап 9.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$\frac{6}{2^{\frac{13}{2}}}$

Этап 10

$t = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$h (4) = {(4)}^{\frac{3}{4}} - 6 {(4)}^{\frac{1}{4}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$h (4) = 4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$ .

$y = 4^{\frac{3}{4}} - 6 \cdot 4^{\frac{1}{4}}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{9}{8 {(0)}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$\frac{9}{8 {(0^{4})}^{\frac{7}{4}}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{8 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9}{8 \cdot 0^{4 (\frac{7}{4})}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{9}{8 \cdot 0^{7}} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{9}{8 \cdot 0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.3.2

Умножим $8$ на $0$ .

$\frac{9}{0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{9}{0} - \frac{3}{16 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 13.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 14

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 15