Математический анализ Примеры

$H (t) = \frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{5}{4}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{5}{4} t^{8}$ по $t$ равна $\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{5}{4} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.3

Объединим $8$ и $\frac{5}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 5}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.4

Умножим $8$ на $5$ .

$\frac{40}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.5

Объединим $\frac{40}{4}$ и $t^{7}$ .

$\frac{40 t^{7}}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.6

Сократим общий множитель $40$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $40 t^{7}$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 t^{7}}{1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.2.6.2.4

Разделим $10 t^{7}$ на $1$ .

$10 t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{10}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{10}]$ .

$10 t^{7} - \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 t^{7} - (10 t^{9})$

Этап 1.3.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$10 t^{7} - 10 t^{9}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 10 t^{9}] + \frac{d}{d t} [10 t^{7}]$ .

$H'' (t) = \frac{d}{d t} (- 10 t^{9}) + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 10 t^{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $t$ , производная $- 10 t^{9}$ по $t$ равна $- 10 \frac{d}{d t} [t^{9}]$ .

$H'' (t) = - 10 \frac{d}{d t} t^{9} + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$H'' (t) = - 10 (9 t^{8}) + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Этап 2.2.3

Умножим $9$ на $- 10$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + \frac{d}{d t} (10 t^{7})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [10 t^{7}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10$ является константой относительно $t$ , производная $10 t^{7}$ по $t$ равна $10 \frac{d}{d t} [t^{7}]$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 10 \frac{d}{d t} (t^{7})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 10 (7 t^{6})$

Этап 2.3.3

Умножим $7$ на $10$ .

$H'' (t) = - 90 t^{8} + 70 t^{6}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\frac{5}{4} t^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{5}{4} \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{5}{4} (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $8$ и $\frac{5}{4}$ .

$\frac{8 \cdot 5}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $8$ на $5$ .

$\frac{40}{4} t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.5

Объединим $\frac{40}{4}$ и $t^{7}$ .

$\frac{40 t^{7}}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.6

Сократим общий множитель $40$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $40 t^{7}$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (10 t^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 t^{7}}{1} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.2.6.2.4

Разделим $10 t^{7}$ на $1$ .

$10 t^{7} + \frac{d}{d t} [- t^{10}]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- t^{10}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{10}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{10}]$ .

$10 t^{7} - \frac{d}{d t} [t^{10}]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$10 t^{7} - (10 t^{9})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $10$ на $- 1$ .

$10 t^{7} - 10 t^{9}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (t) = - 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Этап 4.2

Первая производная $H (t)$ по $t$ равна $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ .

$- 10 t^{9} + 10 t^{7}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 10 t^{9} + 10 t^{7} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $- 10 t^{7}$ из $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $- 10 t^{7}$ из $- 10 t^{9}$ .

$- 10 t^{7} t^{2} + 10 t^{7} = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $- 10 t^{7}$ из $10 t^{7}$ .

$- 10 t^{7} t^{2} - 10 t^{7} \cdot - 1 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $- 10 t^{7}$ из $- 10 t^{7} (t^{2}) - 10 t^{7} (- 1)$ .

$- 10 t^{7} (t^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$- 10 t^{7} (t^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 1$ .

$- 10 t^{7} ((t + 1) (t - 1)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 10 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$t^{7} = 0$

$t + 1 = 0$

$t - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $t^{7}$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $t^{7}$ к $0$ .

$t^{7} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $t^{7} = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$t = \sqrt[7]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[7]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{7}$ .

$t = \sqrt[7]{0^{7}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$t = 0$

Этап 5.5

Приравняем $t + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $t + 1$ к $0$ .

$t + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$t = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $t - 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $t - 1$ к $0$ .

$t - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$t = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 10 t^{7} (t + 1) (t - 1) = 0$ верно.

$t = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 90 {(0)}^{8} + 70 {(0)}^{6}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 90 \cdot 0 + 70 {(0)}^{6}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 90$ на $0$ .

$0 + 70 {(0)}^{6}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 70 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $70$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $t$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 4$ .

$H' (- 4) = - 10 {(- 4)}^{9} + 10 {(- 4)}^{7}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $9$ .

$H' (- 4) = - 10 \cdot - 262144 + 10 {(- 4)}^{7}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 262144$ .

$H' (- 4) = 2621440 + 10 {(- 4)}^{7}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $7$ .

$H' (- 4) = 2621440 + 10 \cdot - 16384$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $10$ на $- 16384$ .

$H' (- 4) = 2621440 - 163840$

Этап 10.2.2.2

Вычтем $163840$ из $2621440$ .

$H' (- 4) = 2457600$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $2457600$ .

$2457600$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 0.5$ .

$H' (- 0.5) = - 10 {(- 0.5)}^{9} + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $9$ .

$H' (- 0.5) = - 10 \cdot - 0.00195312 + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 10$ на $- 0.00195312$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 + 10 {(- 0.5)}^{7}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $7$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 + 10 \cdot - 0.0078125$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $10$ на $- 0.0078125$ .

$H' (- 0.5) = 0.01953125 - 0.078125$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $0.078125$ из $0.01953125$ .

$H' (- 0.5) = - 0.05859375$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 0.05859375$ .

$- 0.05859375$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0.5$ .

$H' (0.5) = - 10 {(0.5)}^{9} + 10 {(0.5)}^{7}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $9$ .

$H' (0.5) = - 10 \cdot 0.00195312 + 10 {(0.5)}^{7}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 10$ на $0.00195312$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 10 {(0.5)}^{7}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $7$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 10 \cdot 0.0078125$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $10$ на $0.0078125$ .

$H' (0.5) = - 0.01953125 + 0.078125$

Этап 10.4.2.2

Добавим $- 0.01953125$ и $0.078125$ .

$H' (0.5) = 0.05859375$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $0.05859375$ .

$0.05859375$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $- 10 t^{9} + 10 t^{7}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$H' (4) = - 10 {(4)}^{9} + 10 {(4)}^{7}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $9$ .

$H' (4) = - 10 \cdot 262144 + 10 {(4)}^{7}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $- 10$ на $262144$ .

$H' (4) = - 2621440 + 10 {(4)}^{7}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $7$ .

$H' (4) = - 2621440 + 10 \cdot 16384$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $10$ на $16384$ .

$H' (4) = - 2621440 + 163840$

Этап 10.5.2.2

Добавим $- 2621440$ и $163840$ .

$H' (4) = - 2457600$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 2457600$ .

$- 2457600$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = - 1$ , $t = - 1$ — локальный максимум.

$t = - 1$ — локальный максимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = 0$ , $t = 0$ — локальный минимум.

$t = 0$ — локальный минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = 1$ , $t = 1$ — локальный максимум.

$t = 1$ — локальный максимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $H (t) = \frac{5}{4} t^{8} - t^{10}$ .

$t = - 1$ — локальный максимум

$t = 0$ — локальный минимум

$t = 1$ — локальный максимум

$t = - 1$ — локальный максимум

$t = 0$ — локальный минимум

$t = 1$ — локальный максимум

Этап 11