Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (4 - \ln (x))$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 - \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Этап 1.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - \ln (x)$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [4 - \ln (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $4 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 1.2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Этап 1.2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Этап 1.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Этап 1.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{4 - \ln (x)} (- \frac{1}{x})$

Этап 1.4

Умножим $\frac{1}{4 - \ln (x)}$ на $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{(4 - \ln (x)) x}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{4 x - \ln (x) x}$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x$ из $4 x - \ln (x) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $4 x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 - \ln (x) x}$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- \ln (x) x$ .

$- \frac{1}{x \cdot 4 + x (- \ln (x))}$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 4 + x (- \ln (x))$ .

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x (4 - \ln (x))} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ в виде ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x (4 - \ln (x)))}^{- 1} + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = - (- {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 1 ({(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x)))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.2

Умножим ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2}$ на $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} \frac{d}{d x} (x (4 - \ln (x))) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (4 - \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

По правилу суммы производная $4 - \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x \frac{d}{d x} (- \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.6.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{d}{d x} \ln (x)) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.7

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (x (- \frac{1}{x}) + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- \frac{x}{x} + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.2.1.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 \cdot 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + (4 - \ln (x)) \cdot 1) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.4.1

Умножим $4 - \ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (- 1 + 4 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.4.2

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.8.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + \frac{1}{x (4 - \ln (x))} \cdot 0$

Этап 2.8.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.6.1

Умножим $\frac{1}{x (4 - \ln (x))}$ на $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x)) + 0$

Этап 2.8.6.2

Добавим ${(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$ и $0$ .

$f'' (x) = {(x (4 - \ln (x)))}^{- 2} (3 - \ln (x))$

Этап 2.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{{(x (4 - \ln (x)))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Этап 2.9.2

Применим правило умножения к $x (4 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} \cdot (3 - \ln (x))$

Этап 2.9.3

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}} (3 - \ln (x))$ .

$f'' (x) = (3 - \ln (x)) (\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}})$

Этап 2.9.4

Умножим $3 - \ln (x)$ на $\frac{1}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 - \ln (x)}{x^{2} {(4 - \ln (x))}^{2}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{1}{x (4 - \ln (x))} = 0$

Этап 4

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 5

Нет локальных экстремумов

Этап 6