Математический анализ Примеры

$f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{32}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 + 32 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$1 + 32 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 1.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 + 32 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Этап 1.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 1.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 1.2.10

Умножим $- 2$ на $32$ .

$1 - 64 x^{- 3}$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$1 - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 1.4.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{64}{x^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{64}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{64}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 64 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = - 64 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - 64 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$f'' (x) = - 64 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.2.8

Умножим $- 3$ на $- 64$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 192 x^{- 4} + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{1}{x^{4}}) + 0$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Объединим $192$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}} + 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $\frac{192}{x^{4}}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{192}{x^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x + \frac{32}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{32}{x^{2}})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{32}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $32$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{32}{x^{2}}$ по $x$ равна $32 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Этап 4.1.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + 32 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Этап 4.1.2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Этап 4.1.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.1.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Этап 4.1.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Этап 4.1.2.5.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- x^{- 4} (2 x))$

Этап 4.1.2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 4} x)$

Этап 4.1.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Этап 4.1.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{1 - 4})$

Этап 4.1.2.9

Вычтем $4$ из $1$ .

$f' (x) = 1 + 32 (- 2 x^{- 3})$

Этап 4.1.2.10

Умножим $- 2$ на $32$ .

$f' (x) = 1 - 64 x^{- 3}$

Этап 4.1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - 64 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Объединим $- 64$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{- 64}{x^{3}}$

Этап 4.1.4.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = 1 - \frac{64}{x^{3}}$

Этап 4.1.4.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - \frac{64}{x^{3}} + 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{64}{x^{3}} + 1$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{64}{x^{3}} + 1 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{64}{x^{3}} = - 1$

Этап 5.3

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x^{3}, 1$

Этап 5.3.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$x^{3}$

Этап 5.4

Каждый член в $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ умножим на $x^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим каждый член $- \frac{64}{x^{3}} = - 1$ на $x^{3}$ .

$- \frac{64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{64}{x^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Этап 5.4.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 64}{x^{3}} x^{3} = - x^{3}$

Этап 5.4.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 64 = - x^{3}$

Этап 5.5

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $- x^{3} = - 64$ .

$- x^{3} = - 64$

Этап 5.5.2

Добавим $64$ к обеим частям уравнения.

$- x^{3} + 64 = 0$

Этап 5.5.3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3} + 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Этап 5.5.3.1.2

Перепишем $64$ в виде $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Этап 5.5.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Этап 5.5.3.2

Перепишем $64$ в виде $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Этап 5.5.3.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 5.5.3.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.4.1.1

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Этап 5.5.3.4.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Этап 5.5.3.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Этап 5.5.4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 5.5.5

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.5.5.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.5.6

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.1

Приравняем $x^{2} + 4 x + 16$ к $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Этап 5.5.6.2

Решим $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.5.6.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 4$ и $c = 16$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.3.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.4.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.3

Вычтем $64$ из $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.4

Перепишем $- 48$ в виде $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (48)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.7

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.6.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.7.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.1.9

Перенесем $4$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.5.6.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.5.6.2.5.3

Упростим $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.6.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 5.5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ верно.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{64}{x^{3}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{3} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{192}{{(4)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$\frac{192}{256}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $192$ и $256$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $64$ из $192$ .

$\frac{64 (3)}{256}$

Этап 9.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $64$ из $256$ .

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Этап 9.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{64 \cdot 3}{64 \cdot 4}$

Этап 9.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{4}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = (4) + \frac{32}{{(4)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 4 + \frac{32}{16}$

Этап 11.2.1.2

Разделим $32$ на $16$ .

$f (4) = 4 + 2$

Этап 11.2.2

Добавим $4$ и $2$ .

$f (4) = 6$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$y = 6$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x + \frac{32}{x^{2}}$ .

$(4, 6)$ — локальный минимум

Этап 13