Математический анализ Примеры

$f (x) = 9 x^{5} - 2 x^{3} - x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{5}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $9$ .

$45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$45 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$45 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [45 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (45 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [45 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $45$ является константой относительно $x$ , производная $45 x^{4}$ по $x$ равна $45 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 45 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 45 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $45$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $180 x^{3} - 12 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 180 x^{3} - 12 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{5}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$9 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $9$ .

$45 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{3}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$45 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$45 x^{4} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $3$ на $- 2$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$

Этап 5.2

Подставим $u = x^{2}$ в уравнение. Это упростит использование формулы для корней квадратного уравнения.

$45 u^{2} - 6 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Этап 5.3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.4

Подставим значения $a = 45$ , $b = - 6$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (45 \cdot - 1)}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.2.2

Умножим $- 180$ на $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.3

Добавим $36$ и $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.4

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.5.2

Умножим $2$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Этап 5.5.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.2.2

Умножим $- 180$ на $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.3

Добавим $36$ и $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.4

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.6.2

Умножим $2$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Этап 5.6.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.6.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$u = \frac{1 + \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.7

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Возведем $- 6$ в степень $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 45 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 45 \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 180 \cdot - 1}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.2.2

Умножим $- 180$ на $- 1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 180}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.3

Добавим $36$ и $180$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{216}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.4

Перепишем $216$ в виде $6^{2} \cdot 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.4.1

Вынесем множитель $36$ из $216$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 (6)}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.4.2

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{2 \cdot 45}$

Этап 5.7.2

Умножим $2$ на $45$ .

$u = \frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$

Этап 5.7.3

Упростим $\frac{6 \pm 6 \sqrt{6}}{90}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.7.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$u = \frac{1 - \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = \frac{1 + \sqrt{6}}{15}, \frac{1 - \sqrt{6}}{15}$

Этап 5.9

Подставим вещественное значение $u = x^{2}$ обратно в решенное уравнение.

$x^{2} = 0.22996598$

${(x^{2})}^{1} = - 0.09663264$

Этап 5.10

Решим первое уравнение относительно $x$ .

$x^{2} = 0.22996598$

Этап 5.11

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0.22996598}$

Этап 5.11.2

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{0.22996598}$

Этап 5.11.2.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{0.22996598}$

Этап 5.11.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}$

Этап 5.12

Решим второе уравнение относительно $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 0.09663264$

Этап 5.13

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.1

Избавимся от скобок.

$x^{2} = - 0.09663264$

Этап 5.13.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 0.09663264}$

Этап 5.13.3

Упростим $\pm \sqrt{- 0.09663264}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.3.1

Перепишем $- 0.09663264$ в виде $- 1 (0.09663264)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (0.09663264)}$

Этап 5.13.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (0.09663264)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.09663264}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{0.09663264}$

Этап 5.13.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \sqrt{0.09663264}$

Этап 5.13.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.13.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = i \sqrt{0.09663264}$

Этап 5.13.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - i \sqrt{0.09663264}$

Этап 5.13.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$

Этап 5.14

Решением $45 x^{4} - 6 x^{2} - 1 = 0$ является $x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}, i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$ .

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}, i \sqrt{0.09663264}, - i \sqrt{0.09663264}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{0.22996598}, - \sqrt{0.22996598}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{0.22996598}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$180 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ .

$180 \sqrt{{0.22996598}^{3}} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Этап 9.2

Возведем $0.22996598$ в степень $3$ .

$180 \sqrt{0.0121616} - 12 \sqrt{0.22996598}$

Этап 10

$x = \sqrt{0.22996598}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{0.22996598}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \sqrt{0.22996598}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{0.22996598}$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 {(\sqrt{0.22996598})}^{5} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{5}}$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{{0.22996598}^{5}} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Этап 11.2.1.2

Возведем $0.22996598$ в степень $5$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 {(\sqrt{0.22996598})}^{3} - (\sqrt{0.22996598})$

Этап 11.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{{0.22996598}^{3}} - (\sqrt{0.22996598})$

Этап 11.2.1.4

Возведем $0.22996598$ в степень $3$ .

$f (\sqrt{0.22996598}) = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$

Этап 11.2.2

Окончательный ответ: $9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$ .

$y = 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{0.22996598}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$180 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.22996598}$ .

$180 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$180 (- {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13.3

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ .

$180 (- \sqrt{{0.22996598}^{3}}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13.4

Возведем $0.22996598$ в степень $3$ .

$180 (- \sqrt{0.0121616}) - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13.5

Умножим $- 1$ на $180$ .

$- 180 \sqrt{0.0121616} - 12 (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 13.6

Умножим $- 1$ на $- 12$ .

$- 180 \sqrt{0.0121616} + 12 \sqrt{0.22996598}$

Этап 14

$x = - \sqrt{0.22996598}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{0.22996598}$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{0.22996598}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{0.22996598}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 {(- \sqrt{0.22996598})}^{5} - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.22996598}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 ({(- 1)}^{5} {\sqrt{0.22996598}}^{5}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- {\sqrt{0.22996598}}^{5}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{5}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{5}}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- \sqrt{{0.22996598}^{5}}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.4

Возведем $0.22996598$ в степень $5$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = 9 (- \sqrt{0.00064315}) - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.5

Умножим $- 1$ на $9$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 {(- \sqrt{0.22996598})}^{3} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{0.22996598}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.7

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- {\sqrt{0.22996598}}^{3}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.8

Перепишем ${\sqrt{0.22996598}}^{3}$ в виде $\sqrt{{0.22996598}^{3}}$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- \sqrt{{0.22996598}^{3}}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.9

Возведем $0.22996598$ в степень $3$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} - 2 (- \sqrt{0.0121616}) - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} - (- \sqrt{0.22996598})$

Этап 15.2.1.11

Умножим $- (- \sqrt{0.22996598})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + 1 \sqrt{0.22996598}$

Этап 15.2.1.11.2

Умножим $\sqrt{0.22996598}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{0.22996598}) = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $- 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$ .

$y = - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 9 x^{5} - 2 x^{3} - x$ .

$(\sqrt{0.22996598}, 9 \sqrt{0.00064315} - 2 \sqrt{0.0121616} - \sqrt{0.22996598})$ — локальный минимум

$(- \sqrt{0.22996598}, - 9 \sqrt{0.00064315} + 2 \sqrt{0.0121616} + \sqrt{0.22996598})$ — локальный максимум

Этап 17