Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(2 x - 5)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x - 5)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x - 5)}^{3}] + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 2 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 5$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 5$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x - 5]) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} (2 + 0)) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x (3 {(2 x - 5)}^{2} \cdot 2) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3} \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим ${(2 x - 5)}^{3}$ на $1$ .

$x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{2}$ из $x (6 {(2 x - 5)}^{2}) + {(2 x - 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{2}$ из $x (6 {(2 x - 5)}^{2})$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{3}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{2}$ из ${(2 x - 5)}^{3}$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель ${(2 x - 5)}^{2}$ из ${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6)) + {(2 x - 5)}^{2} (2 x - 5)$ .

${(2 x - 5)}^{2} (x \cdot (6) + 2 x - 5)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $6$ влево от $x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (6 \cdot x + 2 x - 5)$

Этап 4.2.2

Добавим $6 x$ и $2 x$ .

${(2 x - 5)}^{2} (8 x - 5)$

Этап 4.3

Перепишем ${(2 x - 5)}^{2}$ в виде $(2 x - 5) (2 x - 5)$ .

$(2 x - 5) (2 x - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.4

Развернем $(2 x - 5) (2 x - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x - 5) - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x - 5)) (8 x - 5)$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot - 5 - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.4

Умножим $- 5$ на $2$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 5 (2 x) - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.5

Умножим $2$ на $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x - 5 \cdot - 5) (8 x - 5)$

Этап 4.5.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$(4 x^{2} - 10 x - 10 x + 25) (8 x - 5)$

Этап 4.5.2

Вычтем $10 x$ из $- 10 x$ .

$(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$

Этап 4.6

Развернем $(4 x^{2} - 20 x + 25) (8 x - 5)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x^{2} (8 x) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 8 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cdot 8 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \cdot 8 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.3

Умножим $4$ на $8$ .

$32 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 5 - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.4

Умножим $- 5$ на $4$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 x (8 x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x \cdot x - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.6.1

Перенесем $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 (x \cdot x) - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 20 \cdot 8 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.7

Умножим $- 20$ на $8$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} - 20 x \cdot - 5 + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.8

Умножим $- 5$ на $- 20$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 25 (8 x) + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.9

Умножим $8$ на $25$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x + 25 \cdot - 5$

Этап 4.7.10

Умножим $25$ на $- 5$ .

$32 x^{3} - 20 x^{2} - 160 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Этап 4.8

Вычтем $160 x^{2}$ из $- 20 x^{2}$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 100 x + 200 x - 125$

Этап 4.9

Добавим $100 x$ и $200 x$ .

$32 x^{3} - 180 x^{2} + 300 x - 125$