Математический анализ Примеры

$f (x) = x \cos (x) - \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $x \cos (x) - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.4

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$x (- \sin (x)) + \cos (x) - \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$x (- \sin (x)) + 0$

Этап 4.1.2

Добавим $x (- \sin (x))$ и $0$ .

$x (- \sin (x))$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $x (- \sin (x))$ .

$- x \sin (x)$