Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} - 1}$ в виде ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 9.3

Перенесем ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$

Этап 10

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]))$

Этап 12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0))$

Этап 13

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x))$

Этап 13.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x)$

Этап 13.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 13.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 13.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$(1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}) \frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.2

Умножим $1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Умножим $\frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.3.2

Объединим.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}})}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.5

Сократим общий множитель ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Сократим общий множитель.

Этап 14.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.6

Умножим ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7

Вынесем множитель ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.7.1

Изменим порядок ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ и $x$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.2

Вынесем множитель ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ из $x {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14.7.3

Вынесем множитель ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.7.4

Вынесем множитель ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ из ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} + x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.8

Изменим порядок членов.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.9

Сократим общий множитель.

$\frac{x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 14.10

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$