Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\frac{z - 7}{z + 7})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = \sin (z)$ и $g (z) = \frac{z - 7}{z + 7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Этап 1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{z - 7}{z + 7}$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{d}{d z} [\frac{z - 7}{z + 7}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = z - 7$ и $g (z) = z + 7$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \frac{d}{d z} [z - 7] - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $z - 7$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + \frac{d}{d z} [- 7]) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $z$ , производная $- 7$ относительно $z$ равна $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) (1 + 0) - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{(z + 7) \cdot 1 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Умножим $z + 7$ на $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \frac{d}{d z} [z + 7]}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $z + 7$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7]$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (\frac{d}{d z} [z] + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + \frac{d}{d z} [7])}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $7$ является константой относительно $z$ , производная $7$ относительно $z$ равна $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) (1 + 0)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7) \cdot 1}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 3.8.3

Объединим $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ и $\frac{z + 7 - (z - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - (z - 7))}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (z + 7 - z - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим противоположные члены в $z + 7 - z - - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вычтем $z$ из $z$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (0 + 7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Добавим $0$ и $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 - - 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) (7 + 7)}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4.2.3

Добавим $7$ и $7$ .

$\frac{\cos (\frac{z - 7}{z + 7}) \cdot 14}{{(z + 7)}^{2}}$

Этап 4.2.4

Перенесем $14$ влево от $\cos (\frac{z - 7}{z + 7})$ .

$\frac{14 \cos (\frac{z - 7}{z + 7})}{{(z + 7)}^{2}}$