Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (\tan (5 x + 1))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \tan (5 x + 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (5 x + 1)$ .

$\frac{1}{\tan (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 2

Выразим $\tan (5 x + 1)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (5 x + 1)}{\cos (5 x + 1)}$ .

$\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)} \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 4

Переведем $\frac{\cos (5 x + 1)}{\sin (5 x + 1)}$ в $\cot (5 x + 1)$ .

$\cot (5 x + 1) \frac{d}{d x} [\tan (5 x + 1)]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 5.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x + 1$ .

$\cot (5 x + 1) (\sec^{2} (5 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x + 1])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.4

Умножим $5$ на $1$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) (5 + 0)$

Этап 6.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1) \cdot 5$

Этап 6.6.2

Перенесем $5$ влево от $\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \cdot (\cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1))$

Этап 6.6.3

Изменим порядок множителей в $5 \cot (5 x + 1) \sec^{2} (5 x + 1)$ .

$5 \sec^{2} (5 x + 1) \cot (5 x + 1)$