Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x) \cdot \cos (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 7

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)$

Этап 8

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)$

Этап 9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)$

Этап 10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}$

Этап 11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 12.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 12.3

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 12.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 12.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.4

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) (- \sin (x))$ и $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.4.2

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.4.3

Добавим $\cos (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.5.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 12.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Этап 12.5.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 12.5.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 12.5.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 12.5.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 12.6

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x)$