Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\tan (2 x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \tan (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (2 x)$ .

$\cos (\tan (2 x)) \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$\cos (\tan (2 x)) (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \cdot (\cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $2 \cos (\tan (2 x)) \sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.2

Выразим $\sec (2 x)$ через синусы и косинусы.

$2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.4

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.5

Объединим $2$ и $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.6

Объединим $\frac{2}{\cos^{2} (2 x)}$ и $\cos (\tan (2 x))$ .

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos^{2} (2 x)}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $\cos (2 x)$ из $\cos^{2} (2 x)$ .

$\frac{2 \cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x) \cos (2 x)}$

Этап 4.8

Разделим дроби.

$\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$

Этап 4.9

Перепишем $\frac{\cos (\tan (2 x))}{\cos (2 x)}$ в виде произведения.

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Этап 4.10

Запишем $\cos (\tan (2 x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\frac{\cos (\tan (2 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)})$

Этап 4.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Разделим $\cos (\tan (2 x))$ на $1$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \frac{1}{\cos (2 x)})$

Этап 4.11.2

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Этап 4.12

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)} (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Этап 4.13

Переведем $\frac{1}{\cos (2 x)}$ в $\sec (2 x)$ .

$\frac{2}{1} \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Этап 4.14

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$

Этап 4.15

Умножим $2 \sec (2 x) (\cos (\tan (2 x)) \sec (2 x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.15.2

Возведем $\sec (2 x)$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (2 x) \sec^{1} (2 x)) \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.15.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (2 x))$

Этап 4.15.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (2 x) \cos (\tan (2 x))$