Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (x + y) - x y$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (x + y) - x y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (x + y)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x + y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.4

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\cos (x + y) (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.5

Добавим $1$ и $0$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.6

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x + y) - y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x + y) - y \cdot 1$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos (x + y) - y$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$- y + \cos (x + y)$