Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (x) \cdot (\sin (x) + \cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \sec^{2} (x) + \cos (x) \sec^{2} (x)$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\cos (x) \tan (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\tan (x) \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.1.2

Выразим $\cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.1.3

Сократим общие множители.

$\sin (x) - \sin (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) - \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.3

Умножим $- \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin (x) - \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \sec^{2} (x) \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.4

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.6

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.7

Объединим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) \cos (x)$

Этап 6.4.8

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Этап 6.4.9

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Этап 6.4.10

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.10.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 6.4.10.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Этап 6.4.10.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1^{2}}{\cos (x)}$

Этап 6.4.11

Единица в любой степени равна единице.

$\sin (x) - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sin (x) + \frac{- \sin^{2} (x) + 1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.6

Изменим порядок $- \sin^{2} (x)$ и $1$ .

$\sin (x) + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.7

Применим формулу Пифагора.

$\sin (x) + \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.8

Сократим общий множитель $\cos^{2} (x)$ и $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Умножим на $1$ .

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\sin (x) + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\sin (x) + \frac{\cos (x)}{1} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.8.2.4

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 6.9.2

Разделим дроби.

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 6.9.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Этап 6.9.4

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\sin (x) + \cos (x) + \sec (x) \tan (x)$