Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x + 7 \sqrt{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $8 x + 7 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Этап 2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 + 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$8 + 7 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 + 7 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10

Объединим $7$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 + \frac{7 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 + \frac{7}{2 x^{\frac{1}{2}}}$