Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (\tan (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\tan (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $- \sin (\tan (x)) \sec^{2} (x)$ .

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$

Этап 3.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$- {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (\tan (x))$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$- \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Этап 3.4

Единица в любой степени равна единице.

$- \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (\tan (x))$

Этап 3.5

Объединим $\sin (\tan (x))$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$- \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x) \cos (x)}$

Этап 3.7

Разделим дроби.

$- (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)})$

Этап 3.8

Перепишем $\frac{\sin (\tan (x))}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Этап 3.9

Запишем $\sin (\tan (x))$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (\tan (x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}))$

Этап 3.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Разделим $\sin (\tan (x))$ на $1$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \frac{1}{\cos (x)}))$

Этап 3.10.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- (\frac{1}{\cos (x)} (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Этап 3.11

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- (\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x)))$

Этап 3.12

Умножим $\sec (x) (\sin (\tan (x)) \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec (x) \sin (\tan (x)))$

Этап 3.12.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$- (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sin (\tan (x)))$

Этап 3.12.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- ({\sec (x)}^{1 + 1} \sin (\tan (x)))$

Этап 3.12.4

Добавим $1$ и $1$ .

$- (\sec^{2} (x) \sin (\tan (x)))$

$- \sec^{2} (x) \sin (\tan (x))$