Математический анализ Примеры

$f (x) = \cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\cos (x) - \frac{3}{x^{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Этап 2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{3}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{3}}$ в виде ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- \sin (x) - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- \sin (x) - 3 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $- 2$ .

$- \sin (x) - 3 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Этап 3.7

Умножим $x^{- 6}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Этап 3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{2 - 6})$

Этап 3.7.3

Вычтем $6$ из $2$ .

$- \sin (x) - 3 (- 3 x^{- 4})$

Этап 3.8

Умножим $- 3$ на $- 3$ .

$- \sin (x) + 9 x^{- 4}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sin (x) + 9 \frac{1}{x^{4}}$

Этап 4.2

Объединим $9$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \sin (x) + \frac{9}{x^{4}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{9}{x^{4}} - \sin (x)$