Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (\frac{x + a}{b})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = \frac{x + a}{b}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x + a}{b}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{b}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x + a}{b}$ по $x$ равна $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}} (\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x + a])$

Этап 2.2

Умножим $\frac{1}{b}$ на $\frac{1}{1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2}}$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \frac{d}{d x} [x + a]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x + a$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a]$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [a])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + \frac{d}{d x} [a])$

Этап 2.5

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} (1 + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})} \cdot 1$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$ на $1$ .

$\frac{1}{b (1 + {(\frac{x + a}{b})}^{2})}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{x + a}{b}$ .

$\frac{1}{b (1 + \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{b \cdot 1 + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{1}{b + b \frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Этап 3.3.2

Объединим $b$ и $\frac{{(x + a)}^{2}}{b^{2}}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b^{2}}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $b$ и $b^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $b$ из $b {(x + a)}^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b^{2}}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $b$ из $b^{2}$ .

$\frac{1}{b + \frac{b ({(x + a)}^{2})}{b \cdot b}}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{b + \frac{b {(x + a)}^{2}}{b \cdot b}}$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{b + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.4

Чтобы записать $b$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{b}{b}$ .

$\frac{1}{\frac{b \cdot b}{b} + \frac{{(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{b \cdot b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.6

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.7

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{1} b^{1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{b^{1 + 1} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}}$

Этап 3.3.10

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{b^{2} + {(x + a)}^{2}}{b}$ .

$1 \frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$

Этап 3.3.11

Умножим $\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{b}{b^{2} + {(x + a)}^{2}}$