Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (3 x^{4})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4}$ .

$\frac{1}{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{3 x^{4}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3 x^{4}}$ .

$\frac{3}{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4}} (4 x^{3})$

Этап 2.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4}{x^{4}} x^{3}$

Этап 2.4.2

Объединим $\frac{4}{x^{4}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4}}$

Этап 2.4.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}}$

Этап 2.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Этап 2.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x}$

Этап 2.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{x}$